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用Python和SymPy手把手求解古诺模型：从反应函数到纳什均衡的完整推导

当经济学理论遇上Python代码，抽象的古诺模型突然变得触手可及。本文不是又一篇枯燥的博弈论讲义，而是一份带着油墨香味的代码实验手册——我们将用SymPy这个符号计算库，在Jupyter Notebook里重建整个古诺模型的推导过程，从利润函数求导到反应函数可视化，最终锁定那个神秘的纳什均衡点。经济学专业的学生可以在这里看到数学公式如何变成可执行的代码，而程序员则能理解每行Python背后的经济学逻辑。

1. 环境搭建与基础建模

在开始推导之前，我们需要一个合适的"数字实验室"。推荐使用Anaconda创建Python 3.8+环境，并安装以下核心库：

pip install sympy matplotlib numpy

古诺模型描述的是双寡头垄断市场，假设两家公司生产同质产品，通过选择产量来实现利润最大化。让我们先定义模型的基本要素：

from sympy import symbols, Eq, solve, diff # 定义符号变量 q1, q2 = symbols('q1 q2') # 两家公司的产量 c = symbols('c') # 边际成本 P = 8 - q1 - q2 # 市场价格线性反需求函数

这里的关键是理解P = 8 - q1 - q2的经济学含义：市场价格随着总产量增加而下降。数字8代表市场最大可能价格（当产量为0时），而-q1 -q2表示每增加一单位产量对价格的负面影响。

2. 利润函数与反应函数推导

每家公司的利润等于收入减去成本。收入是价格乘以产量，而成本我们简化为线性成本函数：

# 定义利润函数 profit1 = P * q1 - c * q1 # 公司1的利润 profit2 = P * q2 - c * q2 # 公司2的利润 print(f"公司1利润函数: {profit1}") print(f"公司2利润函数: {profit2}")

输出结果会显示：

公司1利润函数: -c*q1 + q1*(8 - q1 - q2) 公司2利润函数: -c*q2 + q2*(8 - q1 - q2)

接下来是最关键的一步——求反应函数。反应函数表示在给定竞争对手产量的情况下，能使自身利润最大化的产量选择。数学上需要对利润函数求导并令导数为零：

# 求公司1的反应函数 dprofit1_dq1 = diff(profit1, q1) # 对q1求导 reaction1 = solve(dprofit1_dq1, q1)[0] # 解一阶条件 # 求公司2的反应函数 dprofit2_dq2 = diff(profit2, q2) reaction2 = solve(dprofit2_dq2, q2)[0] print(f"公司1的反应函数: q1 = {reaction1}") print(f"公司2的反应函数: q2 = {reaction2}")

你会得到熟悉的反应函数表达式：

公司1的反应函数: q1 = (8 - c - q2)/2 公司2的反应函数: q2 = (8 - c - q1)/2

3. 联立求解纳什均衡

纳什均衡是两个反应函数的交点，即两家公司同时选择对对方最优产量做出最佳反应的产量组合。我们需要解这两个方程的联立方程组：

# 定义反应函数方程组 eq1 = Eq(q1, (8 - c - q2)/2) eq2 = Eq(q2, (8 - c - q1)/2) # 解方程组 nash_equilibrium = solve((eq1, eq2), (q1, q2)) print(f"纳什均衡解: {nash_equilibrium}")

输出结果为：

纳什均衡解: {q1: (8 - c)/3, q2: (8 - c)/3}

这个结果验证了经济学教科书中的经典结论：在对称的古诺模型中，纳什均衡下两家公司会生产相同的产量(8-c)/3。

4. 可视化反应函数与均衡点

理论推导固然重要，但图形展示能带来更直观的理解。我们用Matplotlib将反应函数和均衡点绘制出来：

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 假设c=2的具体案例 c_value = 2 q1_values = np.linspace(0, 8, 100) # 计算反应函数曲线 def R1(q2, c): return (8 - c - q2)/2 def R2(q1, c): return (8 - c - q1)/2 # 绘制图形 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(q1_values, [R2(q, c_value) for q in q1_values], label='公司2的反应函数 R2(q1)') plt.plot([R1(q, c_value) for q in q1_values], q1_values, label='公司1的反应函数 R1(q2)') # 标记纳什均衡点 eq_q = (8 - c_value)/3 plt.scatter([eq_q], [eq_q], color='red', label=f'纳什均衡 ({eq_q:.1f}, {eq_q:.1f})') # 图表装饰 plt.xlabel('公司1产量 q1') plt.ylabel('公司2产量 q2') plt.title('古诺模型反应函数与纳什均衡 (c=2)') plt.legend() plt.grid(True) plt.axis([0, 5, 0, 5]) plt.show()

这张图会清晰地显示：

• 两条反应函数直线相交于一点
• 交点坐标正是我们计算得到的纳什均衡解
• 当c=2时，均衡产量为(8-2)/3=2

5. 模型扩展与敏感性分析

基础模型假设两家公司对称，但现实世界往往更复杂。让我们探讨几个扩展场景：

场景1：不对称成本假设公司1的成本为c1，公司2的成本为c2：

c1, c2 = symbols('c1 c2') profit1_asym = (8 - q1 - q2)*q1 - c1*q1 profit2_asym = (8 - q1 - q2)*q2 - c2*q2 # 求导并解反应函数 reaction1_asym = solve(diff(profit1_asym, q1), q1)[0] reaction2_asym = solve(diff(profit2_asym, q2), q2)[0] print(f"不对称成本下的反应函数：") print(f"公司1: q1 = {reaction1_asym}") print(f"公司2: q2 = {reaction2_asym}")

场景2：n家公司竞争将模型扩展到n家相同公司：

n = symbols('n', integer=True, positive=True) Q = n * q # 总产量 P = 8 - Q # 价格函数 profit_n = (P - c) * q # 求对称均衡 reaction_n = solve(diff(profit_n, q), q)[0] print(f"{n}家公司时的均衡产量: {reaction_n}")

这个扩展显示随着竞争者数量增加，单个公司的均衡产量会减少，反映出市场竞争加剧的效果。

6. 实际应用中的注意事项

在将古诺模型应用于真实商业分析时，有几个关键点需要牢记：

• 成本函数假设：我们使用线性成本函数简化分析，但实际成本曲线可能更复杂
• 产品差异化：同质产品假设在现实中很少成立
• 动态竞争：静态模型忽略了多期互动中的策略行为
• 信息对称：现实中公司可能对彼此成本结构了解有限

以下是一个简单的敏感性分析表格，展示不同成本参数下的均衡结果：

这个表格揭示了成本对市场结果的系统性影响——成本上升导致产量下降、价格上升，但总利润减少。