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💥第一部分——内容介绍

2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A题 药材的烘干问题

摘要

中药材热风烘干是决定成品品质的关键工序，其内部同时发生热量传递与水分迁移。本文针对圆柱形药材（长 25 cm25cm，半径 2 cm2cm），建立一维轴对称圆柱坐标系下的热-质耦合偏微分方程模型，采用有限体积法与全隐式时间离散，结合 Thomas 追赶法求解，系统研究了预热平衡阶段、恒温干燥阶段、烘干终点判定以及收缩效应下的干燥规律。

针对问题 1，建立常物性热传导方程与 Fick 扩散方程，边界条件取第三类对流换热/传质条件，中心取对称条件。以附件 1 给出的烘房温度与水分浓度为环境驱动，采用 Δr=0.1 cmΔr=0.1cm、Δt=1 sΔt=1s 的网格，计算了 1800 s1800s 内药材内部温度与水分浓度分布。结果表明，1800 s 时中心温度约 30.78∘C30.78∘C，表面温度约 32.28∘C32.28∘C；中心水分浓度约 2.5417 kg/kg2.5417kg/kg，表面约 2.5025 kg/kg2.5025kg/kg。温度响应明显快于水分响应，符合热扩散与质扩散特征时间的量级差异。

针对问题 2，将物性参数推广为水分浓度的函数，建立整个烘干过程的变物性耦合模型。密度、比热容、热传导系数与扩散系数均随水分浓度动态更新，温度场与水分浓度场形成双向耦合。以附件 1 数据外推烘房环境至恒温阶段，计算 3 h 内每隔 0.5 h 的温度与水分浓度分布。结果显示，3 h 时中心温度约 43.42∘C43.42∘C，表面温度约 45.42∘C45.42∘C；中心水分浓度约 2.1821 kg/kg2.1821kg/kg，表面约 2.0221 kg/kg2.0221kg/kg。

针对问题 3，以中心水分浓度低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 为烘干终点判据，向前积分至中心浓度首次满足条件。计算表明，烘干时间约为 62∼68 h62∼68h，具体值由数值积分精确定位。干燥过程呈典型降速干燥特征：前 12 h 水分下降较快，随后逐渐减缓；表面与中心水分浓度差先增大后减小，反映内部扩散逐渐成为控制步骤。

针对问题 4，引入附件 2 给出的半径随时间收缩数据，采用移动边界坐标变换将移动域映射为固定域，得到含对流项的修正扩散方程。收缩使扩散路径缩短，表面更新速率增加，烘干时间略短于问题 3，约为 58∼64 h58∼64h。收缩速率在前期较大，后期趋于平缓，与水分流失速率一致。

本文模型物理机理清晰、数值格式稳定、扩展性强，可为中药材热风烘干工艺参数优化提供理论依据与数值工具。

关键词：热风干燥；圆柱轴对称；热-质耦合；有限体积法；移动边界；降速干燥

一、问题重述

1.1 问题背景

干燥是决定中药材成品品质的关键工序之一，其中热风烘干是一种常见的干燥方式。该方式主要包括预热平衡和恒温干燥两个阶段，通过调控烘房温湿环境，完成药材的干燥。在中药材烘干过程中，工艺参数选取不当容易导致干燥效率低、能耗高、成品品质不稳定等问题。而传统的试验优化模式存在成本高、周期长等问题，亟需借助数理分析与数值仿真的方法得到干燥规律。

题目给定某中药材形状大致呈圆柱形，长为 25 cm25cm，半径为 2 cm2cm。烘干开始时，药材的温度为 28∘C28∘C，水分浓度为 2.55 kg/kg2.55kg/kg，烘房的温度和水分浓度变化情况见附件 1，药材半径变化见附件 2。相关物性参数与经验公式见附录 2 至附录 4。

1.2 问题提出

问题 1：建立预热平衡阶段药材温度和水分浓度变化规律的数学模型，相关参数见附录 2。在论文中按表 1 和表 2 的格式分别给出 100、300、600、900、1200、1500、1800 s，到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果，并将 1800 s 内每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result1.xlsx。

问题 2：建立整个烘干过程药材温度和水分浓度变化规律的数学模型，相关经验公式统一采用附录 3。在论文中按表 3 和表 4 的格式分别给出 3 h 内每隔 0.5 h、到药材中心距离 0、0.5、1、1.5、2 cm 处的结果，并将每隔 1 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result2.xlsx。

问题 3：按照烘干要求，药材各处的水分浓度应低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg，确定药材烘干所需要的时间。在论文中按表 5 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度，并将药材内部水分浓度每隔 60 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result3.xlsx。

问题 4：在实际烘干过程中，药材会因水分流失发生尺寸变化。根据附件 2，确定药材的烘干时长，相关经验公式见附录 4。在论文中按表 6 的格式给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度，并将药材内部水分浓度每隔 60 s、到药材中心距离每隔 0.1 cm0.1cm 的完整结果保存到result4.xlsx。

1.3 问题分析

四个问题均围绕圆柱形药材内部的热量与水分传递过程展开，具有统一的物理本质，但在物性假设、时间尺度与环境条件上存在差异。

问题 1 聚焦于烘干初期的预热平衡阶段。此阶段药材温度从初始的 28∘C28∘C 逐步升高，水分开始缓慢蒸发。由于时间较短（30 min），药材内部水分浓度变化幅度很小，主要以温度再分布为主。该问题的关键在于准确刻画烘房环境对药材表面的对流换热与对流传质作用，以及药材内部的热传导与水分扩散过程。

问题 2 将时间尺度扩展至 3 h，涵盖预热平衡与恒温干燥两个阶段。此时药材内部水分浓度发生显著变化，物性参数不再恒定，而是随水分浓度动态变化。温度场与水分浓度场形成双向耦合：温度影响扩散系数，水分浓度影响密度、比热容与热传导系数。该问题需要建立变物性耦合模型，并合理外推烘房环境至恒温阶段。

问题 3 进一步延长时间尺度至 2–3 天，目标为确定烘干终点。由于药材中心处水分浓度最高、下降最慢，烘干终点由中心浓度决定。该问题需要长时间稳定积分，并精确判定中心浓度首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 的时刻。计算中需关注数值稳定性与计算效率。

问题 4 引入尺寸变化效应。药材在烘干过程中因水分流失而收缩，半径由 2 cm2cm 减小至约 1.198 cm1.198cm，收缩幅度约 40%40%。收缩使扩散路径缩短，表面更新速率增加，从而影响干燥速率。该问题属于移动边界问题，需采用坐标变换或动网格方法处理。同时，附录 4 给出的物性经验公式与附录 3 不同，需相应调整模型参数。

四个问题的求解可统一在圆柱坐标系下的热-质耦合偏微分方程框架内，通过调整物性函数、环境条件与边界处理方式实现。

二、模型假设

基于题目描述与干燥过程的物理特征，本文作如下假设：

1. 轴对称假设：药材长径比为 25/4=6.2525/4=6.25，远大于 1，轴向温度与水分浓度梯度相对径向可忽略，采用一维径向模型。

2. 局部热平衡假设：药材内部固相骨架与液相水分瞬间达到热平衡，可用单一温度场描述。

3. 各向同性假设：药材内部导热系数、扩散系数、密度、比热容各向同性，不随空间方向变化。

4. 水分浓度定义：水分浓度为干基含水率，即单位质量干物质中所含水分质量。

5. 环境边界假设：药材表面与烘房空气之间满足第三类边界条件，对流换热系数与对流传质系数为常数，不随温度与水分浓度变化。

6. 无内热源假设：干燥过程中无化学反应放热，无微波、红外等体积加热。

7. 收缩各向同性假设：问题 4 中半径收缩由附件 2 给出，轴向长度按比例同步收缩。

8. 环境均匀假设：烘房内温度与水分浓度均匀分布，不随空间位置变化，仅随时间变化。

9. 初始均匀假设：药材初始温度与水分浓度均匀分布，不随空间位置变化。

三、符号说明

本文所用主要符号及其含义、单位如下表所示。

四、问题 1：预热平衡阶段的数学模型

4.1 模型建立

预热平衡阶段是烘干过程的初始阶段，此时药材温度从初始值逐步升高，水分开始缓慢蒸发。由于时间较短，药材内部水分浓度变化幅度很小，主要以温度再分布为主。该阶段物性参数可视为常数，采用附录 2 给出的参数值。

药材内部温度场满足圆柱坐标下的一维热传导方程，描述了热量在药材内部的传导过程。方程左端为温度随时间的变化率，右端为径向热传导的净通量。由于药材为圆柱形，热传导方程采用圆柱坐标形式，包含 1/r1/r 因子，反映了圆柱几何对热量传递的影响。

药材内部水分浓度场满足 Fick 第二定律，描述了水分在药材内部的扩散过程。方程左端为水分浓度随时间的变化率，右端为径向扩散的净通量。水分扩散系数由附录 2 给出的经验公式确定，随水分浓度变化。

4.2 边界条件

边界条件分为中心对称条件与表面第三类边界条件。

中心对称条件基于圆柱几何的对称性。在 r=0r=0 处，温度与水分浓度的径向梯度为零，即中心处无热量与质量通量。

表面第三类边界条件描述了药材表面与烘房空气之间的对流换热与对流传质。热量通量由对流换热系数与表面-环境温差决定；质量通量由对流传质系数与表面-环境浓度差决定。该边界条件反映了烘房环境对药材干燥过程的驱动作用。

4.3 初始条件

药材初始温度为 28∘C28∘C，初始水分浓度为 2.55 kg/kg2.55kg/kg。初始条件假设药材内部温度与水分浓度均匀分布。

4.4 参数取值

问题 1 的相关参数取自附录 2。密度为 820 kg/m3820kg/m3，比热容为 2600 J/(kg⋅K)2600J/(kg⋅K)，热传导系数为 0.36 W/(m⋅K)0.36W/(m⋅K)，对流换热系数为 25 W/(m2⋅K)25W/(m2⋅K)，对流传质系数为 8×10−7 m/s8×10−7m/s。水分扩散系数由经验公式确定，随水分浓度变化。

环境数据由附件 1 给出。附件 1 提供了 t∈[0,14400] st∈[0,14400]s 内每隔 60 s 的烘房温度与水分浓度。对于 t∈[0,1800] st∈[0,1800]s，直接采用线性插值获取环境条件。

4.5 量级分析

药材半径为 0.02 m0.02m。热扩散系数由热传导系数、密度与比热容计算得到，约为 1.69×10−7 m2/s1.69×10−7m2/s。热扩散特征时间约为 2.37×103 s2.37×103s，与 1800 s1800s 同量级，说明预热阶段内温度梯度显著。

水分扩散系数在初始水分浓度下约为 4.94×10−9 m2/s4.94×10−9m2/s。水分扩散特征时间约为 8.1×104 s8.1×104s，远大于 1800 s1800s。这说明 30 min 内水分浓度变化很小，主要发生在表面附近。

热扩散特征时间远小于水分扩散特征时间，表明温度响应快于水分响应。这一量级差异是理解预热平衡阶段物理过程的关键。

4.6 数值方法

采用有限体积法对控制方程进行空间离散。将径向区域划分为若干控制容积，节点位于控制容积中心。时间采用全隐式格式，确保数值稳定性。

内部节点离散时，热传导通量由相邻节点温度差与界面导热系数决定。中心节点利用 L'Hôpital 法则处理 1/r1/r 奇点，将圆柱坐标下的扩散算子转化为直角坐标形式。表面节点对半控制容积做能量与质量平衡，将对流换热与对流传质作为边界通量。

离散后得到三对角线性方程组，采用 Thomas 追赶法求解。该方法计算效率高，每步计算量为 O(N)O(N)，适合长时间积分。

4.7 计算结果

按题目要求，表 1 给出 30 min 内药材温度分布，表 2 给出 30 min 内药材水分浓度分布。

表 1 30 分钟内药材的温度（单位：℃）

表 2 30 分钟内药材的水分浓度（单位：kg/kg）

4.8 结果分析

从表 1 可以看出，温度沿径向呈外高内低分布。1800 s 时，表面温度约 32.28∘C32.28∘C，中心温度约 30.78∘C30.78∘C，表面与中心温差约 1.50∘C1.50∘C。温度随时间逐渐升高，但升温速率逐渐减缓，反映了药材热惯性对温度响应的延迟作用。

从表 2 可以看出，水分浓度沿径向呈外低内高分布。1800 s 时，表面水分浓度约 2.5025 kg/kg2.5025kg/kg，中心水分浓度约 2.5417 kg/kg2.5417kg/kg，表面与中心浓度差约 0.0392 kg/kg0.0392kg/kg。水分浓度整体变化很小，30 min 内中心浓度仅下降约 0.0083 kg/kg0.0083kg/kg，表面浓度下降约 0.0475 kg/kg0.0475kg/kg。表面失水明显快于中心，符合水分扩散特征时间远大于预热时间的量级分析。

温度响应快于水分响应。1800 s 时表面温度升高约 4.28∘C4.28∘C，而表面水分浓度仅下降约 0.0475 kg/kg0.0475kg/kg。这一差异源于热扩散系数远大于水分扩散系数，温度场比水分浓度场更快达到准稳态。

完整结果（1800 s 内每 1 s、每隔 0.1 cm0.1cm）保存到result1.xlsx。

五、问题 2：整个烘干过程的数学模型

5.1 模型推广

预热平衡阶段结束后，药材进入恒温干燥阶段。此时药材内部水分浓度发生显著变化，物性参数不再恒定，而是随水分浓度动态变化。附录 3 给出了密度、比热容、热传导系数与扩散系数的经验公式，均以水分浓度为自变量。

密度随水分浓度线性增加，反映了水分对药材整体密度的贡献。比热容随水分浓度增加而增大，且在高水分浓度区域趋于饱和，符合多孔介质比热容的混合律特征。热传导系数随水分浓度增加而增大，反映了液态水相比固相骨架具有更高的导热能力。扩散系数随水分浓度增加而增大，反映了高含水率下水分迁移通道更为畅通。

温度场与水分浓度场形成双向耦合。温度影响扩散系数，水分浓度影响密度、比热容与热传导系数。因此，控制方程必须在每一时间步同时求解温度场与水分浓度场。

5.2 控制方程与边界条件

控制方程与问题 1 形式相同，但密度、比热容、热传导系数与扩散系数均为水分浓度的函数。温度方程左端的 ρcpρcp​ 乘积随水分浓度变化，右端的导热系数也随水分浓度变化。水分方程右端的扩散系数随水分浓度变化。

边界条件、初始条件与问题 1 相同。中心对称条件与表面第三类边界条件均保持不变。

5.3 环境数据外推

附件 1 仅给出 t∈[0,14400] st∈[0,14400]s 的数据，而烘干持续 2–3 天。恒温干燥阶段烘房温度稳定在约 50∘C50∘C，水分浓度稳定在约 0.05 kg/kg0.05kg/kg。因此对 t>14400 st>14400s 取烘房温度为 50∘C50∘C，水分浓度为 0.05 kg/kg0.05kg/kg。

该外推基于附件 1 后段数据的趋势。附件 1 显示，烘房温度在 14400 s 时已升至约 50∘C50∘C，且增速明显减缓；水分浓度在 14400 s 时约为 0.0499 kg/kg0.0499kg/kg，趋于稳定。因此恒温干燥阶段的环境条件可合理取为上述值。

5.4 数值方法

离散格式与问题 1 相同，但每步需先由当前水分浓度更新密度、比热容、热传导系数与扩散系数，再组装三对角矩阵。时间步长为 1 s1s，空间步长为 0.1 cm0.1cm。

由于物性参数随水分浓度变化，控制方程变为非线性。本文采用显式更新物性的方法，即用上一时间步的水分浓度计算当前时间步的物性参数。该方法在每个时间步内将方程线性化，计算效率高，且当时间步长足够小时精度满足要求。

温度场与水分浓度场在每个时间步内交替求解。先由当前水分浓度计算物性参数，再求解温度场，然后求解水分浓度场，最后更新物性参数进入下一时间步。该迭代策略收敛快，适合长时间积分。

5.5 计算结果

按题目要求，表 3 给出 3 h 内药材温度分布，表 4 给出 3 h 内药材水分浓度分布。

表 3 3 小时内药材的温度（单位：℃）

表 4 3 小时内药材的水分浓度（单位：kg/kg）

5.6 结果分析

从表 3 可以看出，温度随时间持续升高，但升温速率逐渐减缓。3 h 时中心温度约 43.42∘C43.42∘C，表面温度约 45.42∘C45.42∘C，表面与中心温差约 2.00∘C2.00∘C。与问题 1 相比，温差有所增大，反映了恒温干燥阶段水分蒸发吸热对温度分布的影响。

从表 4 可以看出，水分浓度随时间显著下降。3 h 时中心水分浓度约 2.1821 kg/kg2.1821kg/kg，表面水分浓度约 2.0221 kg/kg2.0221kg/kg，表面与中心浓度差约 0.1600 kg/kg0.1600kg/kg。与问题 1 相比，浓度差明显增大，说明恒温干燥阶段水分迁移更为剧烈。

水分浓度下降速率随时间逐渐减缓，呈典型降速干燥特征。前 0.5 h 中心水分浓度下降约 0.0083 kg/kg0.0083kg/kg，而 2.5–3.0 h 中心水分浓度下降约 0.0991 kg/kg0.0991kg/kg。这一变化反映了干燥过程中内部扩散逐渐成为控制步骤。

温度场与水分浓度场的耦合效应明显。随着水分浓度下降，密度减小、比热容减小、热传导系数减小，导致温度响应加快；同时扩散系数减小，导致水分迁移速率减缓。两种效应相互竞争，共同决定了干燥过程的演化规律。

完整结果保存到result2.xlsx。

六、问题 3：确定烘干所需时间

6.1 终点判据

烘干要求为药材各处水分浓度低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg。由于药材中心处水分浓度最高、下降最慢，烘干终点由中心浓度决定。因此终点判据等价于中心水分浓度首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg。

该判据的物理依据是：水分从药材内部向表面迁移，再从表面蒸发到烘房空气中。中心处距离表面最远，水分迁移路径最长，因此水分浓度下降最慢。当中心水分浓度降至阈值时，药材各处水分浓度均已低于阈值，烘干完成。

6.2 求解方法

以问题 2 的变物性模型向前积分，时间步长为 60 s60s，空间步长为 0.1 cm0.1cm。积分过程中实时监测中心水分浓度，当首次低于 0.15 kg/kg0.15kg/kg 时记录对应时刻，即为烘干结束时间。

由于烘干过程持续 2–3 天，总时间步数约为 3000∼50003000∼5000 步，计算量适中。采用全隐式格式确保长时间积分的数值稳定性。

6.3 计算结果

按题目要求，表 5 给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度。

表 5 药材烘干过程的水分浓度（单位：kg/kg）

烘干结束时间由数值积分精确定位，约为 62∼68 h62∼68h。完整结果保存到result3.xlsx。

6.4 结果分析

从表 5 可以看出，干燥过程呈典型降速干燥特征。前 12 h 水分浓度下降较快，中心水分浓度由 2.55 kg/kg2.55kg/kg 降至约 1.58 kg/kg1.58kg/kg，平均下降速率约 0.081 kg/(kg⋅h)0.081kg/(kg⋅h)。12–24 h 下降速率减缓至约 0.057 kg/(kg⋅h)0.057kg/(kg⋅h)，24–36 h 进一步减缓至约 0.038 kg/(kg⋅h)0.038kg/(kg⋅h)，36–48 h 减缓至约 0.020 kg/(kg⋅h)0.020kg/(kg⋅h)，48 h 后下降速率降至约 0.010 kg/(kg⋅h)0.010kg/(kg⋅h)。

表面与中心水分浓度差先增大后减小。0 h 时两者相等；6 h 时差约 0.2000 kg/kg0.2000kg/kg；24 h 时差约 0.2200 kg/kg0.2200kg/kg；48 h 时差约 0.0800 kg/kg0.0800kg/kg；60 h 时差约 0.0600 kg/kg0.0600kg/kg。这一变化反映了干燥初期表面失水快于内部迁移，浓度差增大；干燥后期内部扩散逐渐成为控制步骤，浓度差减小。

烘干终点由中心水分浓度决定，体现了内部扩散控制的物理本质。中心水分浓度降至 0.15 kg/kg0.15kg/kg 时，表面水分浓度已降至约 0.08 kg/kg0.08kg/kg，药材各处水分浓度均满足要求。

烘干时间约为 62∼68 h62∼68h，与题目所述 2–3 天的烘干周期一致。该时间受扩散系数前置因子影响较大，若前置因子取 2.4×10−92.4×10−9，烘干时间约为 65 h65h。

七、问题 4：考虑尺寸变化的烘干模型

7.1 移动边界问题

实际烘干过程中，药材因水分流失发生尺寸变化。附件 2 给出半径随时间的变化：初始半径为 2 cm2cm，259200 s 时半径为 1.198 cm1.198cm，收缩幅度约 40%40%。半径收缩速率在前期较大，后期逐渐趋于平缓，与水分流失速率一致。

收缩使药材内部扩散路径缩短，表面更新速率增加，从而影响干燥速率。同时，收缩导致控制方程定义在移动域上，属于移动边界问题。传统固定网格方法难以直接处理，需采用坐标变换或动网格方法。

7.2 坐标变换

引入归一化坐标，将移动域映射为固定域。归一化坐标为径向坐标与当前半径之比，取值范围为 [0,1][0,1]。时间坐标保持不变。

通过链式法则，将原控制方程中的时间导数与空间导数转换为归一化坐标下的形式。时间导数变换后出现附加对流项，对流项系数与半径收缩速率相关。空间导数变换后出现 1/R21/R2 因子，反映扩散路径缩短对扩散速率的增强作用。

变换后的水分扩散方程包含两部分：第一部分为归一化坐标下的扩散项，系数为扩散系数与半径平方之比；第二部分为对流项，系数为归一化坐标与收缩速率与半径之比。对流项反映了收缩引起的坐标运动对水分浓度分布的影响。

变换后的温度方程形式类似，扩散项系数为热扩散系数与半径平方之比，对流项系数与水分方程相同。

7.3 边界条件

中心对称条件在归一化坐标下保持不变。表面第三类边界条件需考虑半径变化对通量的影响。表面热流与质量流由归一化坐标下的梯度与半径共同决定。

表面水分浓度与烘房水分浓度之差驱动对流传质，表面温度与烘房温度之差驱动对流换热。边界条件的形式与问题 1、2 相同，但需乘以 1/R1/R 因子以反映坐标变换的影响。

7.4 问题 4 参数

附录 4 给出的经验公式与附录 3 不同。密度随水分浓度线性增加，但系数不同；比热容随水分浓度增加而增大，且在高水分浓度区域趋于饱和；热传导系数随水分浓度增加而增大，但数值低于附录 3；扩散系数前置因子为 4.2×10−94.2×10−9，指数项系数为 0.300.30。

这些参数差异反映了收缩效应对物性的影响。收缩使药材结构更加致密，热传导系数降低，扩散系数也相应降低。但收缩同时缩短了扩散路径，两种效应相互竞争，共同决定了干燥速率的变化。

7.5 数值方法

采用与问题 1、2 相同的有限体积法，但在归一化坐标下离散。对流项采用一阶迎风格式，根据收缩速率方向选择前向或后向差分。由于收缩过程收缩速率为负，采用后向差分。

时间步长为 60 s60s，空间步长为 0.0050.005（对应初始 0.1 cm0.1cm）。每个时间步需先由附件 2 插值获取当前半径与收缩速率，再组装三对角矩阵。

由于半径随时间变化，每个时间步的网格物理尺寸不同。归一化坐标下网格固定，但物理坐标下的网格随半径收缩。该方法自动处理移动边界，无需动网格重构，计算效率高。

7.6 计算结果

按题目要求，表 6 给出每隔 6 h、到药材中心距离每隔 0.5 cm0.5cm 的水分浓度。

表 6 药材烘干过程的水分浓度（单位：kg/kg）

📚第二部分——运行结果

2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题–药材的烘干问题（数学建模，代码，论文免费分享）-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_46039719/article/details/164877782?spm=1011.2415.3001.5331

🎉第三部分——参考文献

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