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简介：一份基于自由摆的平板控制系统设计学士论文，面向电子信息工程、自动化等专业学生，可作为毕业设计、课程设计或单片机竞赛项目的参考资料。内容以STC12C5A60S2单片机和MMA7455倾角传感器为核心，完整论述系统方案选型、平板状态理论分析、电源与电机驱动电路设计、查表法实现激光笔照射中心线、TFT触摸屏交互，以及通过控制平板运动使硬币在自由摆过程中保持静止的方法。论文还涉及系统测试与误差分析，有助于理解从传感器数据采集、步进电机驱动到控制逻辑编程的完整实现链路。资源包内为单个doc文档，大小约222KB，便于直接阅读和引用。目前已有122人学习，适合想要快速掌握单片机测量控制类项目整体框架的读者。

1. 自由摆平板控制系统：强扰动对象，别指望纯 PID

做自动控制课程设计或电子设计竞赛的，多半都被自由摆平板控制系统折磨过：一根摆杆自由摆动，末端舵机上顶着一块平板，硬币放在板面上。任务不是简单的"保持平衡"——摆杆每时每刻都在改变平板的加速度环境，纯位置反馈只能跟在误差后面跑，摆幅一大硬币照样滑出去。这个题目背后是一条完整的设计链路：先把摆杆-平板-硬币写成方程，再决定传感器、执行机构和控制律，最后用衰减实验和阶跃响应把论文里的曲线做实。对嵌入式、自动化和竞赛方向的从业者，它也是观察"前馈解耦 + 串级 PID"如何在强扰动对象上落地的现成样本。

2. 自由摆平板控制系统的建模与测角：把扰动写进方程

建模的价值不是算得准，而是告诉你前馈应该补偿什么。我见过不少方案上来就调 PID，调了三天发现摆幅一大就发散，根本原因是方程里那个随摆杆运动的扰动项没被识别出来。这节把三个物理量讲清楚：摆杆角 θ、舵机相对摆杆的转角 α、硬币在板面上的位置 x，然后给出一个能直接指导代码的线性化模型。

2.1 摆杆-硬币模型线性化："扰动只剩阻尼"这个反直觉结论

坐标系约定：θ 为摆杆偏离铅垂线的角度，最低点为零，向右摆为正；α 为舵机让平板相对摆杆转过的角，满足 β = θ + α，β 是平板在惯性系中的世界倾角；x 为硬币沿板面的位移，平板中点为原点。摆杆含舵机和平板的质量后是一个物理摆，线性化方程为：

θ'' + 2ζω·θ' + ω²·θ = 0，其中 ω = √(g / L_eff)

L_eff 是等效摆长，不要拿尺子量杆长，因为平板和舵机的质量分布会让质心偏移，常见做法是用周期反推：L_eff = g·T² / (4π²)。

硬币的运动方程写在平板的非惯性系里。重力沿板面的分量是 -mg·sinβ ≈ -mg(θ+α)；摆杆端点牵连加速度沿板面的分量近似为 L_eff·θ''，对应的惯性力是 -m·L_eff·θ''；滚动摩擦按线性阻尼 -c·x' 近似。合并后：

x'' ≈ -g·(θ+α) - L_eff·θ'' - c·x'

把摆杆方程代进去，-gθ - L_eff·θ'' = -gθ + L_eff·(ω²θ + 2ζωθ') = (L_eff·ω² - g)·θ + 2ζωL_eff·θ'。因为 L_eff·ω² = g，第一项对消，最终得到：

x'' ≈ -g·α + 2ζωL_eff·θ' - c·x'

这个式子的信息量很大。理想无阻尼摆（ζ=0）下，硬币的动力学与摆杆角度 θ 完全解耦，扰动项只剩 2ζωL_eff·θ'，正比于摆杆角速度而不是角位置。影响有二：其一，前馈量该用角速度构造，用角位置做前馈在相位上就是错的；其二，摆杆轴摩擦越大、ζ 越大，系统越难稳，竞赛里换轴承比调参数更有效。位置环保留积分项，是为了对付 c·x' 这一项代表的静摩擦。

2.2 摆杆角度测量：编码器为主，IMU 只补角速度

摆杆角度是前馈和扰动观测的共同输入，选型上优先级很清楚。

角速度不要用编码器角度做差分，一阶差分会把量化噪声放大一个数量级，带宽稍高就会出现前馈毛刺。我一般把 600 线编码器装摆杆轴上量角度，MPU6050 的陀螺仪 z 轴量角速度，两者各干各的，不做姿态融合。陀螺输出经过一阶低通再接进控制环：

#define GYRO_LPF 0.2f // 采样率 1kHz，截止频率约 2Hz；滤波后的 gyro_f 供控制环使用 gyro_f = GYRO_LPF * gyro_raw + (1.0f - GYRO_LPF) * gyro_f;

低通系数 0.2 是按 1kHz 采样给的经验值，控制周期 10ms 时角速度信号已经足够平滑。若减到 0.1，相位滞后变大，前馈的补偿时刻会偏晚。

只有 IMU 可用的场合，用互补滤波把陀螺积分和加速度计求角合并，交叉频率取 0.5Hz 左右：

#define TAU 0.5f float angle = 0.0f, rate = 0.0f; void IMU_Update(float ax, float az, float gz, float dt) { float acc_angle = atan2f(ax, az); // 重力方向与摆杆轴的夹角 angle = TAU/(TAU+dt) * (angle + gz*dt) + dt/(TAU+dt) * acc_angle; rate = gz; // 陀螺原始角速度，单位 rad/s }

注意 acc_angle 在摆杆摆动时混入切向加速度，动态下不可信，所以 TAU 取大一点，让陀螺积分占主导。

2.3 硬币位置检测：电阻触摸屏的读数与线性标定

硬币位置的可选方案里，电阻触摸屏是投入产出比最高的：XPT2046/ADS7846 这类芯片 SPI 读取，更新率毫秒级，成本几块钱。电容屏对非导体不响应，摄像头方案帧率低还要处理畸变，激光对射阵列分辨率受间距限制。电阻屏的代价是表面磨损，贴一层 PET 膜即可。

// XPT2046 单轴读取：命令字选通道，0x90/0xD0 对应 X/Y，以手头屏幕手册为准 uint16_t tp_raw(uint8_t cmd) { CS_LOW(); SPI_Send(cmd); uint16_t v = ((uint16_t)SPI_Read() << 8) | SPI_Read(); CS_HIGH(); return v >> 3; // 12bit 右对齐 }

命令字 X/Y 的对应关系因屏幕丝印和接法而异，上电后两个通道各打 50 个数，看哪个通道数值随硬币左右移动明显变化，就用哪个。读数做 8 次采样去最大最小再平均，等效一个抗脉冲的低通，触摸噪声主要是接触瞬间的跳变。

标定在摆杆锁死铅垂、平板水平的状态下做：硬币放在平板中心读 raw0，再放到左右两个已知位置读 raw，得到 mm/LSB 比例：

float mm_per_lsb = 120.0f / (raw_right - raw_left); // 左右间距 120mm float x_mm = (float)(raw - raw0) * mm_per_lsb;

电阻屏边缘非线性明显，标定只覆盖 ±60mm 工作区，超出区域不做位置闭环，只用它做过限保护。

3. 平板驱动执行机构：自由摆平板控制系统的舵机与 PWM 链路

执行机构决定了控制周期的下限和外环能吃到多少增益。自由摆平板控制系统的平板惯量小、转角范围只要 ±60°、响应要给位置环让路，这套约束下舵机是主流选择，但舵机的回程间隙和供电方式是两个最常见的翻车点。

3.1 舵机还是步进：从回程间隙和负载惯量看

步进的优势在重复定位精度，但那是开环下的精度；平板端负载轻、转速低，步进反而暴露低速爬行和共振区的问题。要上步进就得配闭环，成本直接翻倍。舵机的短板是回差，后面 3.3 节专门处理。

3.2 舵机 PWM 与 10ms 控制周期的时序配合

模拟舵机的 PWM 周期是 20ms，脉宽 500~2500μs 对应满行程，1500μs 是中位。数字舵机更新率可以到 330Hz，但便宜方案里模拟舵机占多数。控制周期我固定取 10ms，理由是两个：一是模拟舵机 50Hz 的物理更新率决定了 10ms 一次指令已经饱和，跑到 1kHz 只会放大噪声还发热；二是前馈和反馈在同一周期内先采样后输出，避免多一拍的相位滞后。

// TIM2: PSC=71, ARR=19999，计数频率 1MHz，PWM 周期 20ms void Servo_SetDeg(float deg) { deg = CLAMP(deg, -60.0f, 60.0f); // 机械限位保护 int cmp = 1500 + (int)(deg / 90.0f * 1000.0f); // 0° 对应 1500μs __HAL_TIM_SET_COMPARE(&htim2, TIM_CHANNEL_1, cmp); }

不同舵机的中位和行程有离散，上电先发 1500μs 让舵机停在物理中位，再缓慢扫描确认行程，不要一上来给满幅跳变，会撞限位。供电是最容易被低估的：MG996R 堵转电流接近 2.5A，必须用独立的 5~6V 电源给舵机，控制板只取信号，两套电源共地。共用 USB 供电导致的随机复位和曲线毛刺，九成是这里。

// 控制环主程序 10ms 定时中断 void Loop_10ms(void) { float th = Enc_GetTheta(); // 摆杆角，铅垂为 0，rad float w = Gyro_GetRate(); // 摆杆角速度，rad/s，已低通 float x = TP_GetX(); // 硬币位置，m float a = Svo_GetAngle(); // 舵机当前角，rad float ff = Kff * w; // 角速度前馈 float e = x_ref - x; // 外环位置误差 if (fabsf(e) < 0.08f) err_sum += e * Ts; // 误差大于 80mm 时积分分离 err_sum = CLAMP(err_sum, -0.5f, 0.5f); // 积分限幅，防饱和 float dd = kp_o*e + ki_o*err_sum + kd_o*(e - e_prev)/Ts; e_prev = e; float a_ref = CLAMP(dd + ff, -1.05f, 1.05f); // ≈ ±60° float u = kp_i*(a_ref - a) - kd_i*servo_rate; // 内环角 PD Servo_SetPwm(u); }

采样集中在中断开头，输出放在结尾，避免采样与输出的时序错位。外环输出的是目标平板相对摆杆转角 a_ref，前馈在同一个量纲上叠加，限幅放在合成之后，防止摆幅大时舵机一直抱死。

3.3 回程间隙与极限环：三招压掉稳态抖动

舵机齿轮回差在换向时产生 0.5°~1° 的死区。外环积分的视角是"有误差但执行器不动"，于是积分慢慢累积，累积到越过死区就大幅过冲，换向后再来一轮，形成等幅极限环。听感是舵机"咔哒咔哒"响，曲线上是稳态段的锯齿波。

死区补偿是典型的工程手法：角度误差落在死区内就保持上次输出，不追误差，避免积分在那里空转。

float alpha_err = a_ref - a_meas; float u; if (fabsf(alpha_err) < 0.5f) // 0.5° 角度死区 u = u_last; else { u = kp_in*alpha_err - kd_in*omega_meas; u_last = u; }

死区阈值从 0 开始每次加 0.1° 试，加到抖动消失就停；加过大会让小角度跟踪出现粘滞，外环觉得"指挥不动"。

4. 自由摆平板控制系统的控制律：角速度前馈与串级 PID 的参数落地

这一章是核心。第 2 章的方程最后落在 x'' ≈ -gα + 2ζωL_eff·θ' - c·x'，控制律就是照着这个式子搭：前馈抵消 2ζωL_eff·θ'，串级 PID 处理 c·x' 和模型误差。

4.1 前馈系数来自阻尼辨识：先测 ζ 和 ω，再算 Kff

前馈的目标是让控制量在硬币产生位移之前就把扰动抵消掉。对 x'' = -gα + d 这个对象，取 α_ff = Kff·θ'，令 Kff·g = 2ζωL_eff，得到：

Kff = 2·ζ·ω·L_eff / g

Kff 的单位是秒，数值一般在 0.05~0.3s 量级。ζ 和 ω 不能靠猜，用自由衰减实验辨识：摆杆拉到 30°~40° 释放，记录角度波形 10 秒，然后取峰值序列算对数衰减率。

from scipy.signal import find_peaks import numpy as np t, th = np.loadtxt('swing.csv', delimiter=',', unpack=True) # th 单位 rad p, _ = find_peaks(th, height=0.05) A = th[p] T = np.median(np.diff(t[p])) # 摆动周期，单位 s delta = np.log(A[:-1] / A[1:]).mean() # 对数衰减率 zeta = delta / np.sqrt(4*np.pi**2 + delta**2) w = 2*np.pi / T L_eff = 9.81 * T**2 / (4*np.pi**2) # 等效摆长，不必量杆长 Kff = 2*zeta*w*L_eff / 9.81 print(zeta, w, Kff)

find_peaks 的 height=0.05 是为了丢掉噪声小峰；A[:-1]/A[1:] 是相邻峰值之比，取均值能抑制单点误差。滚动轴承的 ζ 通常在 0.05 以下，铜套或塑料轴会到 0.1 以上。如果算出的 Kff 大于 0.5，先检查单位是不是混了：角速度用 rad/s，角度用 rad，全部走 SI。上板后还有一步符号确认：推一下摆杆看硬币漂移方向，如果加前馈后漂得更快，把 Kff 取反。

4.2 串级结构：内环角 PD、外环位置 PID 的落地实现

反馈回路的取舍有两档。简单方案是单环：位置 PID 直接输出舵机 PWM，前馈叠加在输出上。它的前提是舵机回差小、目标运动慢，外环增益上不去时稳态性能就受限于执行器非线性。更稳的做法是串级：内环用舵机输出的实际转角做 PD 反馈，把回差、饱和、温漂这些非线性包在里面，外环面对的是一个近似一阶的跟随器，增益可以放开。代价是平板轴要加第二路角度反馈，没有的话就退回单环。

实现见 2.2 节末尾的控制主程序，这里补三点说明。第一，外环的 kd_o 是对误差做差分，噪声敏感，位置读数已经做过 8 次平均，可以接受；如果仍有毛刺，把差分改成 (e - e_prev)/(Ts) 前加一阶低通。第二，内环微分项用的是舵机角速度，不要对角度误差求导再乘系数，符号和量纲都会乱。第三，a_ref 的限幅 ±1.05rad 是保护，摆幅大时舵机到不了目标角，误差全压在积分上，所以积分限幅一定要有。

4.3 PID 初值表与调参顺序

调参顺序固定成四步：第一步，机械锁死摆杆，整内环，给 a_ref 阶跃，调 kp_i、kd_i 到无超调；第二步，摆杆仍锁死，整外环，先加 kp_o 到临界振荡的 60%，再加 kd_o，最后加 ki_o，积分永远是最后上的；第三步，松开摆杆小幅摆动，只加前馈看硬币漂移；第四步，摆幅逐步加到 30°，若抖动，回头降内环 kp_i，而不是外环 kp_o。这个顺序能筛掉九成以上的调参问题，出问题的往往是跳过第一步直接把外环增益拉高。

5. 自由摆平板控制系统的标定与验收实验：数据怎么才算数

调通是一回事，论文和验收是另一回事。自由摆平板控制系统的评审看的是三件事：传感器标定有没有做、实验数据是否有可复现性、曲线是否对齐。这节给出可照做的流程。

5.1 三步标定的先后顺序

标定顺序不能乱。第一步零位：摆杆用铅垂线对到 0°，编码器清零，平板放数字角度计调到水平，舵机中位对齐，这两件事错一个，后面的数据全是歪的。第二步触摸屏映射，此时平板必须水平，硬币在中心、左右两点标定 mm/LSB。第三步阻尼辨识，按 4.1 的衰减实验算 ζ、ω、Kff。先对象后传感器，每步结果记录到配置文件，避免每次上电重来。

5.2 三类验收实验与合格线

每组实验连续做 5 次，报告里给均值加减极差。数据必须带统一时间戳，摆杆角、舵机角、硬币位置、目标值四路同时记录，否则论文里画不出可对照的曲线。

5.3 记录对齐与 Python 出图

一个实用技巧：用摆杆角速度过零点做触发。每次实验从摆杆摆到最低点、角速度由正变负的时刻记为 t=0，多次实验叠加平均，曲线包络干净得多，比对着示波器截图可信。

import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt df = pd.read_csv('run.csv', names=['t','theta','alpha','x','ref']) df.t = df.t - df.t[0] # 对齐到 0 时刻 plt.figure(figsize=(8, 4.2)) plt.plot(df.t, df.x*1000, lw=1.2, label='x') plt.plot(df.t, df.ref*1000, '--', lw=1.2, label='ref') plt.xlabel('t / s'); plt.ylabel('x / mm') plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3) plt.savefig('step.pdf', bbox_inches='tight')

曲线画完先看两处：阶跃响应上升沿是否只有一个过冲，摆动镇定段的硬币位置是否在 ±5mm 带内。若过冲不止一个，返回到第 4.3 节从内环重调；若稳态带内抖动有周期，量一下抖动频率，接近摆杆频率就回到前馈，接近舵机频率就回到死区。

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