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圆锥曲线 31 条等高线画法：e 从 0 到 3 步进 0.1，30 分钟看懂椭圆如何过渡到双曲线

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在 Book3_Ch09_Python_Codes/Bk3_Ch09_01.ipynb 里运行一次绘图代码，画布上会出现 31 条从红到蓝渐变的曲线：靠中心的是圆，往外一圈圈变扁的椭圆，再往外弯成抛物线状，最外层劈出两条向外张开的直线。这就是圆锥曲线等高线图——同一张图里装下了全部三类圆锥曲线。读完本文，你能独立画出这条参数曲线族，并解释每个 $e$ 值对应哪种曲线。

先看图：31 条等高线里藏着三个家族

运行 notebook 第三段代码后，画面是这么分布的：

• 网格：$x$、$y$ 都在 $[-4, 4]$ 上各取 201 个点，共 $201 \times 201$ 个采样位；
• 参数：$e$ 从 0 到 3 取 31 个值，步长恰好 0.1，所以 $e=1.0$ 这一档一定被命中；
• 配色：RdYlBu色表把 31 条线染成红→黄→蓝的渐变，方便按颜色追踪某一条曲线随 $e$ 长大后的样子。

为什么是 31 条？$e$ 的步长 0.1 正好让 0.0、1.0、2.0 这些整数档位落在采样点上——圆、抛物线、双曲线各占一格，观察时不用估算。

拆开方程：一个参数 e 凭什么切换三种曲线

全部 31 条曲线来自同一个方程：

$$y^2 - (e^2 - 1)x^2 - 2x = 0$$

左边 $y^2$ 项和 $-2x$ 项永远不动，$e$ 只藏在 $x^2$ 的系数 $-(e^2 - 1)$ 里。曲线种类就由这个系数的符号决定：

代入验证三行就够：$e=0$ 得圆，$e=1$ 时 $x^2$ 项消失得 $y^2=2x$，$e=2$ 得 $y^2-3x^2-2x=0$。顺带一个容易漏掉的事实：所有曲线都过原点 $(0,0)$ 和 $(2,0)$——代回去两个点恒成立，这是整族曲线共用的几何锚点。

复现那幅渐变图：20 行 numpy 加 matplotlib

下面这段代码取自 Bk3_Ch09_01.ipynb 的核心，在验证的正是：把 $e$ 扫过 0 到 3，用 $z=0$ 的等高线把每个 $e$ 对应的曲线一次画全。运行后应看到上文描述的红蓝渐变曲线族，最内圈为正圆，两条坐标轴过原点与 $(2,0)$。

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(-4, 4, num=201) y = np.linspace(-4, 4, num=201) xx, yy = np.meshgrid(x, y) # 201 x 201 网格 e_array = np.linspace(0, 3, num=31) # e: 0.0, 0.1, ..., 3.0 fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) colors = plt.cm.RdYlBu(np.linspace(0, 1, len(e_array))) for i, e in enumerate(e_array): zz = yy**2 - (e**2 - 1) * xx**2 - 2 * xx # 隐函数 z(x, y) plt.contour(xx, yy, zz, levels=[0], colors=[colors[i]]) ax.axhline(0, color='k'); ax.axvline(0, color='k') ax.set_xlim(-4, 4); ax.set_ylim(-4, 4) plt.show()

这里用的是等高线法而不是参数化法：曲线写成隐函数 $z(x,y)$，让contour在 201×201 的网格上找 $z=0$ 的位置，比逐点算 $y(x)$ 省事，遇到垂直切线也不会断。

环境方面，pip install numpy matplotlib jupyter之后，克隆仓库：

git clone https://gitcode.com/GitHub_Trending/bo/Book3_Elements-of-Mathematics

再用jupyter notebook打开 Book3_Ch09_Python_Codes 下的Bk3_Ch09_01.ipynb逐格运行。图形异常时先怀疑网格太稀：把两行linspace的num提到 401，线条会明显变光滑。

越过 e=1：抛物线是椭圆和双曲线之间的那一格

e 跨过 1 时，$x^2$ 系数从正翻成负，曲线身份随之切换。31 条采样里第 10 条是 $e=0.9$ 的扁椭圆，第 11 条 $e=1.0$ 是抛物线，第 12 条 $e=1.1$ 已是双曲线——切换就发生在相邻两格之间，肉眼可辨。两个边界现象值得记下：

• 只画出半支：双曲线有左右两支，但 $y^2=(e^2-1)x^2+2x$ 右边必须非负，在 $[-4,4]$ 窗口内通常只有靠近 $(2,0)$ 的那一支可见，另一支被窗口裁掉。这是视野限制，不是算法 bug。
• e 恰好为 1 时的退化：$x^2$ 项消失，方程从二次退化为 $y^2=2x$，顶点正好在原点——这也解释了为什么所有曲线都贴着原点穿过：抛物线的顶点就是那个公共点 $(0,0)$ 之一。

把 $e$ 的取值密度再加密试试：np.linspace(0.9, 1.1, num=21)，你会看到抛物线被一圈圈几乎重合的椭圆和双曲线夹在中间，过渡其实相当平滑。

打开滑块：两个 Streamlit 演示里参数在动什么

想亲手拧参数，仓库里备了两个现成的交互演示。启动方式相同：

streamlit run Book3_Ch09_Python_Codes/Streamlit_Bk3_Ch09_03.py

第一个应用 Streamlit_Bk3_Ch09_03.py 的侧边栏有三个滑块：$m$、$n$ 控制矩形框的宽和长（默认 1.5，范围 1.0 到 2.0），$\rho$ 控制椭圆整体的倾斜方向（默认 0，范围 -1 到 1）。拖动时，蓝色椭圆始终内接虚线矩形，四个红色叉标在椭圆顶点上，$\rho$ 从 0 拖到 ±1 的过程就是椭圆"躺倒"到矩形对角线的过程。

第二个应用 Streamlit_Bk3_Ch09_04.py 走的是另一条路：四个滑块 $a$、$b$（各 1.0 到 3.0）和 $p$、$q$（各 0.2 到 3.0）控制这个封闭曲线

$$\left|\frac{x_1}{a}\right|^{p} + \left|\frac{x_2}{b}\right|^{q} = 1$$

$p=q=2$ 是标准椭圆；$p=q=1$ 得到菱形；$p$ 或 $q$ 拖到 1 以下，边会向坐标轴方向凹陷。它和第一个应用共用同一套"隐函数＋等高线"画法，差别只是参数从滑块读取。同目录的另外几个 notebook 还覆盖了第 9 章的其余小节，路径都在 Book3_Ch09_Python_Codes 下，按文件名顺序跑即可。

圆锥曲线在这本书里的位置偏前半段，椭圆随后会在概率与统计章节以"二维高斯分布的等高线"和"马氏距离圈出的正常范围"两种身份回头出现，理论部分可对照 Book3_Ch09_深入圆锥曲线__数学要素__从加减乘除到机器学习.pdf。下一步动手任务：把第一段代码里的 $-2x$ 换成 $-2dx$（$d$ 从 0.5 到 3 取值 13 个），画出第二个参数扫过的曲线族，看看圆心和公共交点如何跟着移动。

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