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备课到凌晨两点，对着答案排版把一道几何题的辅助线画歪了，然后又花半小时重画——这种“学案苦力”的日子，我干了五年。直到我把整个竞赛教研流程拆成一套“一体化 skills”，才真正把时间从重复劳动里抢了回来。这套东西不是简单的 LaTeX 模板，也不是丢给 AI 一句“帮我出题”就完事的玩具，而是把“教研分析—选题改编—学案生成—分层作业—讲评预案”整条链路做成可复用的技能包，专门面向数学竞赛教练和硬核数学老师。

写这篇东西，是想把“学案的革命（数竞版）”这个项目的完整思路、技能架构和踩坑实录摊开来讲。它能解决的问题很具体：你的教研时间到底被什么吃掉了？学案制作的瓶颈究竟卡在哪一步？如果你平时用 Claude、Codex 这类带 skills 机制的 AI 工具，或者正在做数学类的 AI 工作流，这篇东西应该能给你一份直接能抄的作业。文章不会绕圈子讲大道理，全是实际跑过、验证过的东西。

1. 项目整体设计与思路拆解

1.1 为什么“学案革命”的突破口是 skills

先说结论：学案制作的成本，大头从来不在“打字排版”，而在“教研决策”。今天这道题要不要放在入门部分？这个知识点学生刚学过，应该出成复习型还是拓展型？几何题的标准答案里，辅助线为什么偏偏从那个中点连过去？这些决策背后是大量的知识判断和教学经验。

日常做法是教练自己心里过一遍，然后手动编排。AI 工具如果只是聊天框，一个最大的问题就是“没记性”和“没边界”——这次让它出题，它不知道你上节课讲到哪里；下次让它排版，它又忘了你常用的题目来源格式。Skills 机制解决的就是这个问题：把一套“决策流程+提示词模板+数据结构约定+知识边界”打包成模块，AI 每次调用时都按这套规则办事。

数学竞赛教研的痛点，恰恰非常适合用 skills 来结构化。因为竞赛内容的类型高度固定：一试的代数题、解析几何题，二试的平面几何、数论、组合。出题方向有明确的难度档位（联赛一试 60%、二试 40%），题目来源相对集中（历年真题、经典竞赛书籍、改编题）。这些规则一旦固化，AI 执行起来就非常稳，不会今天这样明天那样。

1.2 数竞教研的独特需求与常规学案生产的差异

普通课内学案和竞赛学案有一个根本差异：普通学案强调“知识覆盖”，竞赛学案强调“思维密度”。竞赛中的一道好题，往往在一道题里同时容纳了 3 到 4 个知识点交织的思维路径，比如一道解析几何题里融合了几何对称、代数配方和不等式估计三个层面。这就导致竞赛学案在制作时，对题目的“归属分析”和“难度定位”要求极高。

还可以从一个更操作化的角度看差异。我们知道普通学案的生产带有周期性特征：每周按教材章节出，结构类似“知识回顾+例题精讲+随堂练习”。这种生产完全可以模板化，AI 参与的空间也大。但是竞赛学案，除了周期性训练，还有大量“专题式深度素材”，比如“奇偶分析法在数论证明中的十三种典型用法”“从一道联赛几何题看旋转全等的构造时机”。这类内容高度依赖教研积累，AI 如果只靠即时生成，很容易产出“看起来完整、实际上浅薄”的内容。

这套“一体化 skills”的设计初衷就是：把教练脑子里那套判断逻辑，固化成 AI 可执行的流程，同时保留人对关键节点的控制权。技能包不是在替代教练，而是当一个“具备竞赛教研常识的高级助教”——给它一个任务边界，它能在边界内把 80% 的重复性工作做得又快又好。

1.3 一体化工作流的整体框架

整个 skills 体系的核心是一个“三段式”结构：输入层、处理层、输出层。

输入层负责接收最原始的需求，比如“今天想给学生练平面几何的线段相等证明，难度接近联赛二试第一题”。处理层启动一系列子技能：先查知识库定位难度坐标，再检索题目库筛选合适的母题，然后按学案模板生成内容。输出层负责格式化：LaTeX 编译检查、公式清洗、图表占位、分层作业设计。

这个框架里最关键的认知是：学案制作不是一次性写出全部内容，而是多轮加工的过程。每一轮加工都有一个明确的“质检点”。我的实际做法是分四轮：第一轮选题，第二轮解析编写，第三轮学案排版合成，第四轮答案与详解拆分。每一轮对应一个独立的 skill 模块，模块之间通过统一的“题目数据格式”传递信息。

2. 核心技术与工具选型

2.1 Skills 能力模型拆解

很多人问我“skills 到底是什么，和普通提示词有什么区别”。用一个笨一点的比喻：普通提示词是“这次请帮我做这件事”，skills 是“以后凡是我把这件事相关的东西扔给你，你都按这套流程来做，并且记住我用过的偏好和资料格式”。

在我这套数竞学案 skills 里，一共拆出了 8 个子技能模块，它们组合起来才是完整的工作流：

• 题库检索 skill：从本地题库中检索符合条件的母题，支持按知识点、难度档位、年份、来源检索
• 难度标定 skill：给题目打难度标签，区分一试基础、一试强化、二试入门、二试综合
• 解析生成 skill：生成完整解析，包含“思路分析”和“规范解答”两层
• 学案排版 skill：按学案模板生成版式，包含标题层级、例题区、练习区、留白区
• 答案分离 skill：从学案中抽出答案，生成独立的教师版解析文档
• 学情预估 skill：根据题目特征预估学生的易错点和卡点
• 变式改编 skill：对母题做场景替换、数值变化、条件增减，生成变式题
• 主题矩阵 skill：将一个专题下的知识点和能力维度生成矩阵式分布图数据

你可能会问，为什么要把一个“出学案”的事情拆得这么碎？直接给一个大型提示词不行吗？实际测试下来不行。原因很简单：你给 AI 一个 3000 字的综合提示词，它执行到第 2000 字时就已经忘了前面某条规定了。拆成子技能后，每次只执行一个单一职责的任务，执行精度显著提升。

2.2 数学计算引擎与符号计算集成

竞赛学案没法回避数学公式的处理，而公式处理往往是最容易出错的地方。我的方案是集成两类工具：符号计算引擎和公式渲染引擎。

在解析生成环节，尤其是代数、数论、不等式这类需要大量符号变形的内容，直接用语言模型推算答案会有风险。比如一道含参不等式恒成立问题，AI 可能推导得头头是道但漏掉一个分类讨论的分支。我的做法是：用 Python 的 sympy 库做符号计算验证关键步骤，特别是等式变形、因式分解、多项式整除判断，这些是纯机械的符号操作，机器比人脑可靠得多。

公式渲染方面，我用的是 LaTeX + MathJax 双轨方案。学案源文件用 LaTeX 编写，预览时同时用 MathJax 在浏览器里快速渲染。这里有一个非常实用的细节：LaTeX 在数学竞赛中有一套“排版方言”，比如题目中经常出现“如图，在三角形 ABC 中”，需要插图引用环境；解析中经常出现分情况讨论，需要对齐的分步算式。这些如果不做专门约束，AI 生成出来的 LaTeX 代码经常语法不达标。

2.3 几何可视化在学案里的处理方式

平面几何是数竞的大头，而几何题最棘手的地方在于图形。如果 AI 只生成文字而不会生成配图，学案的价值就折损一半。我的解决思路是分层处理：标准几何图用几何画板或 Python 的 matplotlib 生成，AI 负责自动生成绘图代码；示意图则用 TikZ 绘制，AI 根据题目条件自动推导点的坐标和线段的相对位置。

这里要特别提醒一个坑：TikZ 绘图代码的容错率很低。如果 AI 想当然地给了一个不闭合的坐标关系，编译出来的图可能完全不是题目描述的样子。我的解决方案是给绘图 skill 加了一条硬性规则：所有 TikZ 图中的坐标必须先通过几何关系计算，禁止“目测坐标”。也就是说，AI 必须先用逻辑推导出各点的确切位置（尽管可以是相对位置），再生成图代码。

这套几何可视化的价值不只是“让学案好看”，更是帮助学生建立图形直觉。一份好的竞赛学案，图应该体现“有助于发现辅助线的那一个视角”，而不是单纯的示意图。

3. 实操落地：技能创建与学案生成全流程

3.1 技能包的文件结构与加载方式

先讲最基础的东西：一个 skills 技能包在文件结构上是什么样子。我采用的是比较通用的 SKILL 规范，也就是一个目录算一个技能，里面包含一个主描述文件，以及若干资源文件。

competition_math_case/ ├── SKILL.md ├── assets/ │ ├── templates/ │ │ ├── lesson_case.tex │ │ └── answer_sheet.tex │ ├── data/ │ │ ├── knowledge_graph.json │ │ └── difficulty_calibration.json │ └── scripts/ │ ├── verify_solution.py │ └── gen_tikz.py

SKILL.md 是这个技能的说明书，里面写清楚这个技能是干什么的、接收什么输入、输出什么格式、调用哪些附属脚本。下面是一个简化版的核心内容，体现关键约定：

--- name: competition_math_case description: 生成数学竞赛专题学案与教师解析文档 --- # 能力边界 本技能负责从“专题需求描述”到“完整学案+答案详解”的全流程生成。 # 输入格式 - topic: 专题名（如“平面几何·线段相等证明”） - level: 难度档位（一试基础/一试强化/二试入门/二试综合） - period: 建议课时数 - source_preference: 题目来源偏好（联赛真题/改编/自编） # 处理流程 1. 调用题库检索模块匹配母题 2. 对母题做难度标定和学情预估 3. 生成详细解析与思路分析 4. 按学案模板合成版式 5. 拆分教师版答案文档 # 输出规范 - 学案端：LaTeX 源码 + PDF 预览文件 - 教师端：Markdown 解析文档 + 变式题建议 - 所有几何题必须附 TikZ 图源码

加载方式上，不同工具的 skills 安装路径不太一样。Claude Code 这类工具一般把技能包放到项目根目录的.claude/skills/下；Codex 则有自己的插件目录规则。实际做法是：无论是在哪个平台，核心都是修改全局配置或项目配置，将技能包路径加入加载列表。

3.2 从零创建一个数竞学案技能的完整步骤

现在说操作流程。如果你不想直接抄我现成的技能包，想从零搭自己的，下面这七步可以直接照着做。

第一步，梳理你的“教研单点流程”。拿出一份你做得最满意的学案，逆推它的生产步骤。我当时的案例是一份“数列递推与不动点法”专题学案，我拆出六个步骤：定位考点→筛选母题→设计变式→编写解析→排版学案→编写教师说明。

第二步，确定数据接口。明确每个步骤之间传递的数据长什么样。我用一个 JSON 对象描述一道题的全部信息，包括题干、答案、难度、来源、考点列表、易错点列表。这个结构是所有子技能之间的“共同语言”。

第三步，写核心技能文件。把第一步的流程和第二步的数据结构写入 SKILL.md。

第四步，编写辅助脚本。比如自动校验 LaTeX 语法的脚本、符号计算验证脚本。这一步决定了你的技能质量上限。纯靠语言模型硬生成数学解析，错误率太高，必须让脚本做一次“机械验证”。

第五步，准备模板库。把你常用的学案版式做成 LaTeX 模板，注意预留填空位置、答案位置、留白区域。

第六步，建立知识库。把你手头多年的教研笔记、经典题集、真题分类整理成一个可供检索的索引文件。这里不要求把全部题目原文塞进去，只需要有“题目 ID、来源、考点、难度”几个关键字段，原题可以放在本地题库系统里。

第七步，迭代修正。给定一批标注好的测试需求，每测试一轮，就把出错的地方补进 SKILL.md 的“常见的坑”清单。

3.3 关键调用示例与参数配置

实际操作中，我给 AI 的输入不会是一句话，而是一个结构化描述片段。下面是一个实际跑通过的输入示例：

{ "topic": "平面几何·线段相等的证明策略", "level": "二试入门", "period": 2, "source_preference": ["历年联赛真题", "改编题"], "student_profile": { "base_level": "一试稳定，平面几何推理速度中上", "weak_points": ["辅助线构造角度单一", "等腰三角形条件不敏感"] }, "output_format": ["latex_case", "teacher_answer", "tikz_figures"] }

这个输入传递给技能包后，AI 会依次完成检索母题、改编设计、解析生成、学案排版。值得强调的是student_profile这个字段——这是我后期加上去的，作用是让学案真正做到“分层”。很多通用的学案生成器都忽视了这一点，导致题目千篇一律，没有照顾到具体学生的薄弱环节。

参数配置上有一个经验值：给 AI 的约束不是越多越好，而是“关键规则强硬、细节规则宽松”。我在早期版本里把学案的字号、边距、页眉都写死在技能描述里，结果 AI 经常为了塞内容破坏版式。后来改成一种平衡策略：版式核心参数固化在模板里，AI 只负责填充内容，而不是重新创造版式。

体验这个完整流程大概是什么感觉？以一次实操为例：我要求生成一份“平面几何·线段相等证明策略”的两课时学案。这个需求对资深教练来说，脑海里可能会有大致的框架：第一节课讲等腰三角形中两腰相等的识别；第二节课讲全等构造证明线段相等，引入旋转和截长补短两种辅助线技术。

AI 在技能包驱动下生成的学案基本符合预期。它挑了三道联赛真题作为例题，两道改编题作为随堂练习，并且在每道题后都附上了“出题意图”和“学生可能卡住的点”。最关键的是，它生成的 TikZ 图形代码编译通过，辅助线的标记也准确。整个过程大约花了四十分钟人工校对，而如果是自己从头做起，至少要四个小时。

3.4 模板设计与分层作业生成

学案的版式设计是一门被低估的学问。竞赛学案的版式不只是“美观问题”，它直接影响课堂使用的效率。我的模板有几个关键设计：

标题区包含专题名、适用难度、建议课时、目标知识点四个要素。这是我踩过坑后总结出来的——早期版本只有专题名，拿到学案的老师根本不知道这堂课适合哪个阶段的学生。例题区每条例题前都有一个小标签，类似“例 2（联赛改编·中等）”，让学生在动笔之前就对这题的难度有一个预期。练习区不留提示，纯粹是干净题面，这是为了课堂上真实限时训练。最下方有一个教师专用区域，横线下方是“易错诊断”和“变式建议”，学生使用版会裁掉这块区域，教师版则完整保留。

分层作业的设计也放在技能里。我的做法是用难度标定模块算出一个“梯度分布目标”：如果一份作业是 10 道题，按照 3-4-2-1 的分布，落在三个送分档（热身、基础、中坚）和两个拔高档（冲刺、压轴），比例大致是 30% 基础、40% 中档、20% 综合、10% 压轴。技能包在选题时自动按这个比例约束。这比“随便找几道题凑一份”要科学得多。

4. 常见问题与排查技巧实录

4.1 数学解析验证的三大经典翻车场景

我实际使用这套 skills 的过程中，翻车最多的场景集中在以下三个。先讲原委，再给解决方案。

场景一：LaTeX 公式渲染出错。经常出现的问题包括：花括号不匹配、命令名拼写错误、\frac分子分母用成一行导致公式超长。解决的思路是：技能描述里写死一条规则——“所有数学公式必须使用标准数学环境，且每个公式单独一行，不与其他文字混排”，同时配一个自动检测脚本，用 pylatexenc 库扫描 LaTeX 源文件，识别未闭合的环境和非法命令。

from pylatexenc.latex2text import LatexNodes2Text import re def check_braces(tex_content): balance = 0 for ch in tex_content: if ch == '{': balance += 1 elif ch == '}': balance -= 1 if balance < 0: return False, "右花括号多余" return balance == 0, "花括号平衡" if balance == 0 else f"缺少 {balance} 个右花括号"

场景二：解析步骤过度“魔幻”。语言模型生成的解析，有时会出现“从上一步到下一步之间跳过了不可或缺的变形”，在数学上不是错误，但教学上是大问题。竞赛教练能看懂，学生绝对跟不上。排查方法是增加一个“步骤完整性校验”脚本，它检查解析文本中是否频繁出现“显然”“同理”“不难得出”这类缩写词。一旦高频出现，就把解析退回给生成模块，要求补充详细步骤。

场景三：难题“伪通用”。AI 有时候会把一个专题的题目生成得过于雷同，比如讲“数列放缩”时，四道例题全部用同一种放缩技巧。这个问题的根源在于技能包里的出题多样性约束不够。我的修复办法是引入“知识策略矩阵”，在选题阶段就要求覆盖至少三种不同解题策略。经验值是：四道例题中，策略分布趋于 2-1-1 的形态，即两个主策略变体、一个跨知识点策略、一个逆向思维策略。

4.2 技能使用中的常见错误与修偏策略

除了数学本身的问题，技能使用中还会遇到流程层面的坑。这里把我认为最值得说的几条列出来。

• 过度依赖题库检索。有时题库里根本没有合适的母题，但技能包会硬凑——它可能把一个“数论同余”母题强行改编成“不定方程”题，改编过程中逻辑漏洞百出。后来我加了一条硬约束：如果检索不到合适母题，允许“自编题模式”，但自编题需要通过符号计算验证初等计算部分。
• 分课时破碎感。如果需求指定“三课时讲完”，技能包生成的学案偶尔会出现三节课内容脱节的情况。比如第一节课还在讲基础概念，第二节课突然跳到一个高阶综合题。修正方案是在技能描述中明确要求“每节课的题目必须使用前节课的知识作为已知项”。
• 忽略教师版价值。我测试的前几个版本，教师版解析文档只是学生版的答案集合，完全没有“教学提示”价值。后来在技能输出规范里增加了一条：每道例题必须附加“讲解时间预估、讲解切入点、学生常见错误预警”，这样教师版才是真正的“教案”，而不只是“答案册”。

另外有一个非常值得分享的排查技巧：把 AI 的推理过程记录下来。很多 skills 平台支持查看执行日志，每次生成学案后，花五分钟看一遍日志，能发现很多隐藏问题，比如 AI 是不是在某一步突然换了一种解读方式。我统计过，大约有四分之一的“看起来正常但实际偏差”的问题，都能在日志里找到根源。

4.3 课程适配与考试接轨经验

把技能生成的内容直接用于课堂，还有最后一道关卡：学案与真实考试标准的接轨。竞赛教练都知道，不同考试的命题风格差异很大，联赛一试偏重计算能力与熟练度，二试偏重思辨深度与构造能力。一套学案如果“通吃”，其实哪个都不讨好。

我为此写了一个“命题风格对齐”子功能。输入目标考试（比如“全国高中数学联赛二试”），技能包自动调整选题偏好、解析风格和题量配置。比如联赛二试的平面几何题，通常起点并不高，但落点要求很高，辅助线构造需要一定创造性。那匹配的学案里，例题解析部分就会侧重“思路探索过程”，详细写出从条件出发如何联想到某条辅助线，而不是直接扔出“连接某两点”这种结果。

竞赛考试近年的另一个趋势是“反套路”，出题人会有意规避常见的模型化构造，转而结合新颖的命题背景。这一点我也纳入到技能包的变式生成策略中。变式改编不能停留在“换个数字”层面，要能在“保持核心知识点不变的情况下，更换外衣”。比如把一道经典的“角平分线+垂直”问题，改造成“内心+外接圆”背景的等价问题。

5. 从个人工作流到团队协作的扩展思考

5.1 单机技能向团队知识库的演化

我刚才讲的都是个人工作流形态。如果你是一个竞赛教研组的负责人，想让这套技能在团队里落地，事情会变得更有意思，也更有挑战。

团队形态下最大的变化是“知识库成为公共资产”。个人用技能，知识库索引文件存在自己本地，够用；但团队多人共用时，每个人的题目标注习惯、难度理解可能不一样。一定要先做“标定校准”，把团队里两位资深教练各自对 20 道典型题目的难度判定录进来，让 AI 作为标尺对齐。否则技能包在 A 老师那里认为“中等”的题，在 B 老师那里可能直接变成“压轴挡”。

团队协作的另一个要素是版本管理。我建议把技能包和题库全部纳入版本管理仓库，每次修改技能描述或者调整模板，都形成一次可回溯的提交记录。实际遇到过的情况是：某次修改例题模板时，不小心改变了留白区域的尺寸，导致几天内所有新生成的学案都在教师版区域和学生版区域重叠。如果没有版本管理，这个错误可能要过很久才会被发现。

5.2 技能组合与跨学科延伸

这套数竞技能包的架构，本质上是一种“领域知识+生成规则+验证工具”的复合形态。这个架构可以复制到其他学科，比如物理竞赛的建模题、信息学竞赛的算法题。物理竞赛的学案难点在于公式推导的可视化，信息学竞赛则在于代码示例的验证。它们的共同点是：领域知识严密、规则繁多、容错率低，正好需要这种“技能化+脚本验证”的解决思路。

我目前正在做的一个延伸是把“学情预估”这个子技能独立出来，作为一个通用的学科诊断模块。它不依赖数竞内容，而是接收“学生的错题记录+日常作业表现”作为输入，输出一份结构化诊断报告，指出薄弱能力的优先级排序。这样一来，学案生成就真正进入了“学情驱动”阶段。

6. 实战效果与复盘

过去一个学期，我用这套技能包支撑了大约 40 份竞赛学案的生产。对比手工作业，时间投入的变化可以量化：一份两课时的专题学案，手工作业耗时大约 6 到 8 小时（包括选题、做题、写解析、排版、核对），熟练运用技能后，人工干预时间被压缩到 1.5 小时，主要是审题和微调。质量方面，学生课堂反馈良好，教师版解析里的“易错诊断”板块，对助教备课的帮助也很大。

不过我也要泼一盆冷水：这套东西解决的是“制作效率”，不是“教研质量”。选题的品味、对学生的了解、对竞赛方向的理解，依然是教练的核心能力。AI 技能包能把“已经想清楚的东西”快速变成学案，但它不能替你想清楚。真正能产生“革命”效果的用法，是把你手头最重要、最经典的几套教研思路先固化下来，让你的时间被释放出来，去沉淀更高质量的教研内容。

一个具体的个人体会是：技能包第一次测试跑通时，我的第一感觉不是“AI 真厉害”，而是“原来我的教研方法论是可以被显式化描述的”。当我把一道道题背后的难度判断、选题偏好、解析风格说明白之后，我对自己教学体系的理解也更深了一层。这可能才是这个项目带给我的最大收获。

最后再分享一个实践细节：技能的调优不要用“等到不好用了再改”的心态维护，而是每生成 5 份学案就回头做一次审查，把 AI 出现的任何小毛病（哪怕只是标点符号层面的）记录到 SKILL.md 的“负面清单”里。这样过两三个月，技能会稳定在一个相当高的水平上，而你得到的不只是一个越来越好的工具，更是一套越来越清晰的教学方法论。