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群在集合上的作用（Group Action）是抽象代数中最核心、最强大的工具之一。

如果说群本身是对“对称性”的抽象描述，那么群作用就是让这个抽象的群“动起来”，去作用在一个具体的几何图形、代数结构或集合上，从而研究该集合的内部结构与对称性质。

前面讨论的凯莱定理（群作用在自身上）和二面体群（二面体群作用在多边形顶点上），本质上都是群作用的具体表现。

1. 严格定义

设(G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅)是一个群，XXX是一个非空集合。

一个（左）群作用是一个乘法运算∗*∗：G×X→XG \times X \to XG×X→X

满足以下两个条件：

1. 单位元不动：对任意x∈Xx \in Xx∈X，有e⋅x=xe \cdot x = xe⋅x=x（其中eee是群GGG的单位元）。
2. 结合律/复合兼容性：对任意g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G及x∈Xx \in Xx∈X，有：

g⋅(h⋅x)=(gh)⋅xg \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot xg⋅(h⋅x)=(gh)⋅x

观点转换（映射视角）：
给定一个群作用，对每个固定的g∈Gg \in Gg∈G，映射σg:X→X\sigma_g: X \to Xσg​:X→X（定义为σg(x)=g⋅x\sigma_g(x) = g \cdot xσg​(x)=g⋅x）都是集合XXX上的一个双射（置换）。
因此，一个群作用等价于定义了一个群同态：

ϕ:G→Sym(X)\phi: G \to \text{Sym}(X)ϕ:G→Sym(X)

这意味着群作用本质上就是把抽象群GGG表示为集合XXX上的置换群。

2. 两个核心概念：轨道与稳定子

研究群作用时，最核心的两个几何/代数对象是轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）。

(1) 轨道（Orbit）——“元素被变到了哪里”

对于集合XXX中的一个点xxx，在群GGG的作用下，xxx能到达的所有位置构成的集合称为xxx的轨道，记作Orb(x)\text{Orb}(x)Orb(x)或G⋅xG \cdot xG⋅x：

Orb(x)={g⋅x∣g∈G}⊆X\text{Orb}(x) = \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq XOrb(x)={g⋅x∣g∈G}⊆X

• 轨道等价关系：群作用将集合XXX划分（Partition）为若干个互不相交的轨道的并集。

(2) 稳定子（Stabilizer）——“哪些元素保持它不动”

对于集合XXX中的一个点xxx，所有让xxx保持原位不动的群元素构成的集合称为xxx的稳定子，记作StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG​(x)或GxG_xGx​：

StabG(x)={g∈G∣g⋅x=x}⊆G\text{Stab}_G(x) = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \} \subseteq GStabG​(x)={g∈G∣g⋅x=x}⊆G

• 重要性质：对任意x∈Xx \in Xx∈X，稳定子StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG​(x)必为GGG的一个子群。

3. 群作用三大基石定理

(1) 轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）

设有限群GGG作用在集合XXX上，对任意x∈Xx \in Xx∈X，轨道的元素个数与稳定子的指数（陪集个数）相等：

∣Orb(x)∣=[G:StabG(x)]=∣G∣∣StabG(x)∣\vert{}\text{Orb}(x)\vert{} = [G : \text{Stab}_G(x)] = \frac{\vert{}G\vert{}}{\vert{}\text{Stab}_G(x)\vert{}}∣Orb(x)∣=[G:StabG​(x)]=∣StabG​(x)∣∣G∣​

直观：使得点xxx移动到同一个新位置的所有群元素，刚好构成稳定子的一个左陪集。

(2) 伯恩赛德引理（Burnside’s Lemma）

轨道的总数量（即不同“对称类”的数量）等于群元素固定点个数的平均值：

轨道数=1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\text{轨道数} = \frac{1}{\vert{}G\vert{}} \sum_{g \in G} \vert{}X^g\vert{}轨道数=∣G∣1​g∈G∑​∣Xg∣

其中Xg={x∈X∣g⋅x=x}X^g = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \}Xg={x∈X∣g⋅x=x}表示在群元素ggg作用下保持不动的点集。这个引理是 Polya 组合计数定理的基石。

(3) 类方程（Class Equation）

当群GGG通过共轭作用（即g⋅x=gxg−1g \cdot x = g x g^{-1}g⋅x=gxg−1）作用在自身X=GX = GX=G上时，轨道定理给出了著名的类方程：

∣G∣=∣Z(G)∣+∑i[G:CG(xi)]\vert{}G\vert{} = \vert{}Z(G)\vert{} + \sum_{i} [G : C_G(x_i)]∣G∣=∣Z(G)∣+i∑​[G:CG​(xi​)]

其中Z(G)Z(G)Z(G)是群的中心，CG(xi)C_G(x_i)CG​(xi​)是元素xix_ixi​的中心化子（即共轭作用下的稳定子）。类方程是证明ppp-群性质（如中心非平凡）以及柯西定理、西洛定理（Sylow Theorems）的核心武器。

4. 经典群作用示例