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1. 第十三次作业考什么：从s域到z域的连续闭环

信号与系统分析春季课程进行到第十三次作业时，拉普拉斯变换和系统函数基本讲完了，计算量也一下子上来。很多同学到这一周会有明显的感觉：前面傅里叶变换还能靠“背变换对+算积分”撑过去，到了这里却要求你同时理解极点、收敛域、稳定性、零状态响应，还要在连续系统和离散系统之间来回切换。第十三次作业参考答案覆盖的五类高频题型——s域求零状态响应、Routh稳定性判据、零极点图反推系统函数、z变换解差分方程、状态转移矩阵的s域算法，正好把一学期最核心的计算方法拧成了一股绳。

这份内容适合正在做第十三次作业、需要核对过程的人，也适合期末前想快速把“系统分析”框架理一遍的同学。我按作业的题目顺序，把每一步的推导、配参、检查方法都写了出来。和普通答案不一样的是，我会解释每个关键步骤为什么要这么做，以及哪些地方最容易算错。你如果只是想要一个最终结果，看每道题的末尾结论就行；如果想在考试前把方法真正用熟，建议跟着推导过一遍，尤其是第2题和第5题，这两类题在期末卷面上出现频率极高。

1.1 这周的题为什么突然变“重”了

从傅里叶变换进入拉普拉斯变换，本质上是从“频域视角”升级到“复频域视角”。傅里叶变换看的是信号在实频率轴上的分布，而拉普拉斯变换把分析范围拓展到整个复平面，多出了两个非常有用的维度：一是极点，它直接决定系统的自然响应形态；二是收敛域，它决定了同一个代数表达式对应的是因果、反因果还是双边信号。很多同学分数上不去，不是公式不会背，而是没有适应这种“从代数结果反推时域行为”的思维方式。

第十三次作业放在这个时间点，作用就是强制你把前面积累的时域卷积、频域响应、系统稳定性等知识整合起来。比如第一题表面上是算一个拉普拉斯逆变换，实际上包含了系统函数乘输入、部分分式展开、配方法、初值终值定理五个环节；第四题虽然是离散系统，但解题逻辑和第一题几乎完全平行。这种交叉感，正是这门课的真正难点。

1.2 解题前先备好这几张工具表

做第十三次作业之前，我建议你先在草稿纸上默写一遍基础拉普拉斯变换对。不是翻书抄，而是合上笔记自己写。下面这张表是这道作业的“最低配置”：

还要记住两条定理：初值定理 (y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s))，终值定理 (y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s))。这两条在后面验证答案时会反复用到。z变换部分也要准备好几个标准模板，尤其是 (\frac{1-az^{-1}\cos\theta}{1-2az^{-1}\cos\theta+a^2z^{-2}}) 对应 (a^n\cos(n\theta)u[n])，(\frac{az^{-1}\sin\theta}{1-2az^{-1}\cos\theta+a^2z^{-2}}) 对应 (a^n\sin(n\theta)u[n])。第四题的答案就藏在两个模板的线性组合里。

2. 第一题：s域求零状态响应的完整推导

2.1 题型识别与初始条件处理

考虑一道非常典型的题：已知系统函数 (H(s)=\frac{s+3}{s^2+2s+5})，输入信号 (f(t)=e^{-2t}u(t))，求系统的零状态响应 (y(t))。

先做题型判断。所谓零状态响应，就是系统初始储能为零，只由外部输入引起的响应。这种情况下，s域的运算极其简单：(Y(s)=H(s)F(s))。你不用考虑零输入响应，也不需要在时域做卷积，因为拉普拉斯变换已经帮你把卷积变成了乘法。

这里最容易犯的第一个错误，是忘记输入信号的 (u(t))。(f(t)=e^{-2t}) 和 (f(t)=e^{-2t}u(t)) 在复频域完全不同，前者在 (t<0) 时仍存在，已经不是因果信号，还牵扯到双边拉普拉斯变换；后者才有明确的单边变换 (F(s)=\frac{1}{s+2})。作业题里只要写 (u(t))，就是明确告诉你这是一个从 (0^-) 开始作用的因果信号，可以直接用单边拉普拉斯变换处理。

2.2 部分分式展开怎么配才顺

把系统函数和输入变换相乘，得到：

[ Y(s)=\frac{s+3}{(s^2+2s+5)(s+2)} ]

这里需要处理两个问题：分子是一次多项式，分母是一个二阶实系数多项式和一个一阶实系数多项式。最稳的做法是设：

[ Y(s)=\frac{A}{s+2}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+5} ]

先求 (A)。用“遮盖法”，令 (s=-2)，把 (s+2) 这个因子遮掉：

[ A=\frac{s+3}{s^2+2s+5}\Big|_{s=-2}=\frac{1}{4-4+5}=\frac{1}{5} ]

然后通分比较系数。右边第一项通分后写成 (\frac{1}{5}(s^2+2s+5))，第二项是 ((Bs+C)(s+2))。对比 s 的同次幂系数：

[ s^2:\quad B+\frac{1}{5}=0 \Rightarrow B=-\frac{1}{5} ] [ s:\quad \frac{2}{5}+2B+C=1 \Rightarrow C=1 ]

于是：

[ Y(s)=\frac{1/5}{s+2}+\frac{-s/5+1}{s^2+2s+5} ]

接下来是配方法的关键。分母 (s^2+2s+5=(s+1)^2+4)，所以所有涉及它的项都要以 (s+1) 为基准重写。把 (-s/5+1) 改造成 (-\frac{1}{5}(s+1)+\frac{6}{5})，为什么能这样改？因为 (-\frac{1}{5}(s+1)=-\frac{1}{5}s-\frac{1}{5})，加上 (\frac{6}{5}) 正好等于 (-\frac{1}{5}s+1)。这样拆完，第二项就变成：

[ \frac{-\frac{1}{5}(s+1)}{(s+1)^2+4}+\frac{\frac{6}{5}}{(s+1)^2+4} ]

按照前面表格里的两个标准模板，第一项对应 (e^{-t}\cos(2t)u(t))，第二项对应 (\frac{6/5}{2}e^{-t}\sin(2t)u(t)=\frac{3}{5}e^{-t}\sin(2t)u(t))。最终：

[ y(t)=\left[\frac{1}{5}e^{-2t}-\frac{1}{5}e^{-t}\cos(2t)+\frac{3}{5}e^{-t}\sin(2t)\right]u(t) ]

2.3 写完答案后，用初终值定理快速自查

很多同学算出结果后不知道对不对，只能靠看答案。其实有两个非常快的验证手段。

先用初值定理算 (y(0^+))。根据公式：

[ y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{s(s+3)}{(s^2+2s+5)(s+2)} ]

分母是三次方量级，分子是二次方量级，极限为 0。把时域答案代进去，(t=0) 时三项分别是 (1/5)、(-1/5)、(0)，相加正好为 0，两个结果一致。

再用终值定理算 (y(\infty))。因为 (Y(s)) 的极点都在左半平面，极限存在：

[ y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s)=0 ]

时域答案里三项都含有 (e^{-2t}) 或 (e^{-t})，当 (t\to\infty) 时均衰减到 0，同样一致。如果初值或终值对不上，一定是部分分式系数或配方法出了问题，不用等老师批改，自己就能定位。

3. 第二题：Routh判据与稳定性判断的真实用法

3.1 标准稳定系统的Routh表全套

第二题如果考连续系统稳定性，最典型的形式是给你一个特征多项式，让你判断系统是否稳定。比如 (D(s)=s^4+3s^3+5s^2+4s+2)。Routh-Hurwitz判据的做法是列一张表，把所有系数按奇偶次幂分开。

前两行直接抄系数：

[ \begin{array}{c|cc} s^4 & 1 & 5 & 2\ s^3 & 3 & 4 & 0\ \end{array} ]

第三行 (s^2) 行由前两行计算：

[ \frac{3\times5-1\times4}{3}=\frac{11}{3},\quad \frac{3\times2-1\times0}{3}=2 ]

第四行 (s^1) 行：

[ \frac{(11/3)\times4-3\times2}{11/3}=\frac{44/3-6}{11/3}=\frac{26}{11} ]

第五行 (s^0) 行直接写 (2)。首列系数为 (1,3,11/3,26/11,2)，全部大于零，没有符号变化，所以系统稳定。

列Routh表时有一个细节：如果某行第一个元素是零，不能直接写0继续计算，因为下一步会出现除以零。正解是用一个很小的正数 (\varepsilon) 代替0，或者把整行乘以一个正数化简后再算。这属于判据的使用规范，考试时很容易在这里被扣步骤分。

3.2 出现全零行：临界稳定怎么收尾

有些同学一看到全零行就慌了，其实全零行并不是算错了，而是特征方程存在关于原点对称的根，最常见的就是共轭虚根。比如 (D(s)=s^3+2s^2+3s+6)，Routh表写两行之后就出现 (s^1) 行全为零。

遇到这种情况，要用上一行 (s^2) 行构造辅助多项式 (P(s)=s^2+3)，然后对 (s) 求导得到 (2s)，用 (2s) 替代全零行的第一个元素，继续计算。辅助多项式的根就是系统的一对极点：(s=\pm j\sqrt{3})。因此系统处于临界稳定状态，会给出一组等幅振荡的自然响应。

这一步的结论要写完整：不可以说“系统稳定”或“系统不稳定”，只能说临界稳定，并且要说明原因是在虚轴上有一对共轭极点。作业里如果只写不稳定，等于把“虚轴边界情形”这个概念丢掉了，很不值。

3.3 稳定性结论要落到“极点位置”上

Routh判据只是工具，最终判断稳定性的本质是看极点位置。连续系统BIBO稳定的充要条件是所有极点都位于s平面的左半开平面，也就是实部都小于0；只要有一个极点在虚轴上，系统就是临界稳定；只要有极点实部大于0，就不稳定。

这里我想强调一个容易混淆的点：很多同学会把连续系统的稳定性结论直接搬到离散系统里，这是第4题最容易犯的错误。离散系统的稳定要求所有极点位于z平面单位圆内部，也就是 (|z_k|<1)。判断时用z域的Jury判据或直接看极点的模，而不是看实部正负。把这两件事分开，作业和考试都会轻松很多。

4. 第三题：从零极点图反推系统函数

4.1 读图的顺序：零点、极点、增益系数

第三题通常是给你一个零极点图，让你写出系统函数并求冲激响应。这类题考察的是从图形语言到代数表达式的逆向能力。比如图上有一个零点在 (z=-2)，两个极点在 (s=-1\pm j2)，则系统函数的基本骨架是：

[ H(s)=\frac{K(s+2)}{s^2+2s+5} ]

注意这里我用 (K) 表示增益系数。零极点图能看出零点和极点的位置，但看不出增益，必须要额外给一个条件。最常见的条件就是给出系统在某一点的响应值，比如已知直流增益 (H(0)=2.4)，那么：

[ H(0)=\frac{K\cdot2}{5}=2.4 \Rightarrow K=6 ]

于是系统函数确定为：

[ H(s)=\frac{6(s+2)}{s^2+2s+5} ]

这类题目的失分点几乎都在增益上。有些同学拿到图就直接写分子分母，完全忘掉 (K)，或者有了 (K) 却代错点。建议每次写系统函数前，都用 (H(s)=K\frac{\prod(s-z_i)}{\prod(s-p_j)}) 这个形式占位，最后再根据条件求 (K)。

4.2 收敛域决定因果性与稳定性

零极点图以外，题目还会给你收敛域。收敛域不是可有可无的信息，它和极点位置共同决定系统是否因果、是否稳定。如果本题给出的收敛域是 (\mathrm{Re}(s)>-1)，两个极点都在收敛域左边，系统就是因果的；又因为两个极点都在左半平面，系统同时是稳定的。

同样一个代数表达式 (H(s)=\frac{6(s+2)}{s^2+2s+5})，如果收敛域改成 (-1<\mathrm{Re}(s)<-1) 这种带域，对应的就是一个双边信号，系统不再是因果系统，物理可实现性也变了。作业卷面上经常有人只写表达式不写收敛域，这在信号与系统里等于答案没写完整，因为相同的代数式在不同收敛域下代表完全不同的时间函数。

4.3 冲激响应的求法与第1题对照

确定了 (K) 之后，冲激响应就是 (H(s)) 的拉普拉斯逆变换。沿用第一题的配方法：

[ H(s)=\frac{6(s+2)}{s^2+2s+5}=6\frac{s+1}{(s+1)^2+4}+6\frac{1}{(s+1)^2+4} ]

逆变换：

[ h(t)=\left[6e^{-t}\cos(2t)+3e^{-t}\sin(2t)\right]u(t) ]

这道题和第一题放在一起看很有意思：第一题是“给系统函数和输入求响应”，第三题是“给图形和条件反推系统函数”，两者最终都落到同一个配方法操作上。你如果能独立把这两题做顺，拉普拉斯变换部分的核心计算能力就过关了。

5. 第四题：z域解差分方程，配标准型最好用

5.1 从差分方程到系统函数的z域写法

第四题开始进入离散系统。典型的差分方程长这样：

[ y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]+x[n-1] ]

设系统初始状态为零，两边取z变换，利用移位性质 (y[n-k]\leftrightarrow z^{-k}Y(z))，得到：

[ Y(z)(1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2})=X(z)(1+z^{-1}) ]

于是系统函数：

[ H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1+z^{-1}}{1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2}} ]

求单位脉冲响应 (h[n])，就是对 (H(z)) 做逆z变换。这里不建议先分子分母同乘 (z^2) 转成 (z) 的正幂形式再做部分分式，虽然也能算，但在作业书写上容易把 z 的高次幂搞混。直接保留 (z^{-1}) 形式，往标准模板上靠，更不容易出错。

5.2 配成cos/sin标准型再逆变换

观察分母 (1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2})，它和标准形式 (1-2az^{-1}\cos\theta+a^2z^{-2}) 对比，可以得到：

[ a^2=0.25 \Rightarrow a=0.5 ] [ 2a\cos\theta=0.5 \Rightarrow \cos\theta=0.5 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3} ]

这时 (a\sin\theta=0.5\times\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}\approx0.433)。接下来要做的，是把分子 (1+z^{-1}) 表示成两个标准模板的线性组合：

[ 1+z^{-1}=A(1-0.25z^{-1})+B\left(\frac{\sqrt3}{4}z^{-1}\right) ]

对比常数项和 (z^{-1}) 系数：

[ A=1 ] [ 1=-0.25A+\frac{\sqrt3}{4}B \Rightarrow B=\frac{5}{\sqrt3} ]

所以：

[ h[n]=\left(0.5^n\cos\frac{n\pi}{3}+\frac{5}{\sqrt3}0.5^n\sin\frac{n\pi}{3}\right)u[n] ]

这里 (B) 比较大，算出来像 (5/\sqrt3\approx2.887)，不用怀疑，线性组合的系数完全可以大于1，因为两个标准序列在 (n\neq0) 时各有符号变化，叠加后能抵消出一开始比较小的数值。

5.3 用递推验证前三项：答案对不对，算一下就知道

逆变换结果对不对，最踏实的办法是把差分方程直接代一遍。单位脉冲输入下 (x[n]=\delta[n])，递推时从 (n=-1) 开始，初始状态为零：

• (h[0]=x[0]=1)
• (h[1]=x[1]+x[0]+0.5h[0]=0+1+0.5=1.5)
• (h[2]=x[2]+x[1]+0.5h[1]-0.25h[0]=0+0+0.75-0.25=0.5)

再看公式给出的前三项：

• (n=0)：(\cos0=1)，正弦项为0，结果是1，与 (h[0]) 一致。
• (n=1)：(0.5\cos60^\circ=0.25)，加 (\frac{5}{\sqrt3}\times0.5\times\frac{\sqrt3}{2}=\frac54=1.25)，总和1.5，一致。
• (n=2)：(0.25\cos120^\circ=-0.125)，加 (\frac{5}{\sqrt3}\times0.25\times\frac{\sqrt3}{2}=0.625)，总和0.5，一致。

三重验证全部通过，答案可以放心交上去。这个方法比反复检查部分分式快得多，强烈推荐在作业里保留，因为老师能从你的验证步骤看出你真的理解了时域和z域之间的联系。

6. 第五题：状态转移矩阵的s域求法

6.1 状态方程与特征值先列清楚

第五题如果考状态空间，最常问的是求状态转移矩阵 (\Phi(t)=e^{At})。还有一种低频考法是给你微分方程让你自己列状态方程，但核心计算还是矩阵指数。设系统的状态方程中系统矩阵为：

[ A=\begin{bmatrix}0 & 1\ -2 & -3\end{bmatrix} ]

第一步先算特征多项式：

[ \det(sI-A)=\det\begin{bmatrix}s & -1\ 2 & s+3\end{bmatrix}=s(s+3)+2=s^2+3s+2=(s+1)(s+2) ]

特征值为 (-1) 和 (-2)。到这里先停一下，看一眼特征值是不是互异实数，如果是，说明状态转移矩阵最终会是两个指数函数的线性组合，形式比较简单；如果出现共轭复根，后面就会出现正余弦项，这能帮你提前预判表达式的形态。

6.2 (sI-A)^{-1}逐个元素展开

状态转移矩阵的s域算法核心是：

[ \Phi(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right] ]

先求逆矩阵：

[ (sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+3 & 1\ -2 & s\end{bmatrix} ]

现在对矩阵的四个元素分别做部分分式展开。第一个元素：

[ \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2} ]

对应时域 (2e^{-t}-e^{-2t})。第二个元素：

[ \frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} ]

对应 (e^{-t}-e^{-2t})。第三个元素：

[ \frac{-2}{(s+1)(s+2)}=\frac{-2}{s+1}+\frac{2}{s+2} ]

对应 (-2e^{-t}+2e^{-2t})。第四个元素：

[ \frac{s}{(s+1)(s+2)}=\frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2} ]

对应 (-e^{-t}+2e^{-2t})。汇总得到：

[ \Phi(t)=\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix} ]

有几个数值比较巧，比如第二行第一列的两个系数是 (-2) 和 (2)，最容易写成 (2e^{-t}-2e^{-2t}) 丢掉负号。写完后一定要检查符号，这种小错误在矩阵里很容易被忽略。

6.3 用Φ(0)=I验证矩阵指数结果

验证矩阵指数对不对，第一条铁律是时间 (t=0) 时状态转移矩阵等于单位矩阵。代入上面结果：

[ \Phi(0)=\begin{bmatrix} 2-1 & 1-1\ -2+2 & -1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1 \end{bmatrix} ]

完全正确。还可以试第二条性质，(\Phi(t_1+t_2)=\Phi(t_1)\Phi(t_2))，这个验证计算量稍大，作业里写一行“满足指数性质”即可。第三条性质是它的逆矩阵等于 (\Phi(-t))，适合用来检查是否可逆，实际手算中用得不多。

矩阵指数还有种做法是把 (A) 对角化：因为特征值互异，可以写成 (A=P\Lambda P^{-1})，然后 (e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1})。这个方法不是不能用，但对低阶系统来说，s域法只涉及部分分式，语义更直观，也不容易在求特征向量时出错。我对你们作业的建议是：低阶系统统一用s域法，高阶系统或者系统矩阵结构特殊时再考虑对角化。

7. 交作业前自查清单与助教视角提醒

7.1 卷面与画图最容易丢分的地方

作业交得多了你会发现，扣分点未必全在答案本身。拉普拉斯变换的题目要求画零极点图时，务必把实轴虚轴标注清楚，极点和零点用不同的符号区分，常见约定是零点画圈、极点画叉。收敛域要用阴影或粗线明确标在图上，不能只画一根轴。离散系统要求画z平面零极点图时，还要把单位圆画出来，因为单位圆就是离散稳定的分界线，不画等于没有表达稳定性结论。

部分分式展开的书写顺序也有讲究。建议先写“设”的表达式，再写求系数的过程，最后才写逆变换结果。很多同学直接跳到最后一步，系数怎么来的完全看不到，老师想给步骤分都无从下手。作业本质上是演练，不是考试，把过程写完整才是这门课想要培养的工程习惯。

7.2 三类条件别漏写

我批改这类作业时，发现有三个条件特别容易被忽略。第一是系统是否零状态。零状态响应和全响应差一个零输入响应，如果你默认零状态，必须写“设初始条件为零”或在系统函数推导时注明。第二是单边还是双边拉普拉斯变换。这道作业里的信号都带 (u(t))，是单边变换，所以收敛域写法要明确，不能含糊。第三是差分方程的初始条件。z变换的移位性质建立在 (n<0) 时序列为零的基础上，最好在第一步就声明系统是因果的，不然部分分式展开得到的结果可能对不上。

这三个条件不写，结论也可能碰巧对，但不够严谨。信号与系统这门课很讲究“同一表达式在不同条件下代表不同系统”，条件本身就是答案的一部分。

7.3 我反复踩过的坑，你们可以绕开

第一题那种 (s^2+2s+5) 的分母，我第一次算的时候直接去解复数极点，然后把部分分式写成复数形式，算到一半就开始怀疑人生。后来才习惯先配方，用实系数模板对上去，工作量瞬间小了一半。第四题z变换的 (B=5/\sqrt3) 也是，刚算出来觉得系数太难看，以为配方错了，后来用递推验证才发现答案就是对的。这两个经历让我学会一件事：不要凭美观程度判断答案对错，要用定理和递推去验证。

做第十三次作业的过程中，我自己的体会是：这门课越到后面，越像是在练一种“翻译能力”，把时域现象翻译成s域表达式，再翻译成极点位置，再翻译成稳定性结论。每一次翻译都有对应的规则，而作业题就是最好的翻译练习素材。这套方法短期内能帮你把作业写对，长期来看，信号与系统分析这套思维在通信、控制、音频处理这些方向上都会一遍遍用到，值得花时间扎扎实实弄通。