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简介：2022年MathorCup数学建模竞赛D题题解包，完整包含解题思路与论文代码，适合备赛学生以及将数学建模用于毕业设计的学生。压缩包为zip格式，共35个文件，涉及10个Python脚本、8个Excel数据表、5张可视化结果图、3份Word题解说明和PDF赛题原文，整体约11.65MB；脚本围绕数据预处理、肘方法确定K值、业务量计算、基站类型选择、未覆盖点识别及结果绘图等关键步骤组织，每个环节都配有对应表格输出，方便直接验证与复盘。已有498人学习下载。题解包按问题求解链路展开，既提供分步可运行的建模代码，也配有详细的文字题解和数据分析说明，既可完整复现D题结论，也可作为同类选址覆盖优化问题的参考模板，帮助读者掌握从模型构建、算法实现到结果分析的一整套实践方法，对备赛和毕业设计都有实际帮助。

1. 2022年mathercup数学建模比赛D题题解：这道配送优化题到底在考什么

搜过2022年mathercup数学建模比赛D题题解的人，大概率是同一个状态：题目看明白了，模型想出来了，但一到写论文和调代码就卡住。当年D题做的是疫情封控下社区生活物资的应急配送优化，本质是带容量约束的车辆路径问题（CVRP），难不在算法有多前沿，而在怎么把题面里的“车、货、点、时间”变成既能写进论文、又能跑出结果的数学表达。这篇题解把我当时的做法完整讲一遍：思路怎么拆、代码怎么落地、参数怎么调、论文怎么排，顺带把那些让人怀疑人生的坑一次说清。适合准备MathorCup、国赛或调度类题目的同学，新手能照着跑通，熟手可以对照模型边界与参数选择。

2. 拆思路：先分清三个决策层面，再写数学表达

2.1 路径、车辆分配和装载量：为什么三个层面不能混在一起

D题这类物资配送题目，本质上要回答三个问题：哪辆车去送、这辆车先去谁家后去谁家、每辆车装多少不会超载。这三个问题对应路径、车辆分配、装载量三个决策层面。常见误区是把它们塞进一个序列里，比如直接套TSP，只求一条经过所有需求点的最短环线。一旦题目里出现“多辆车”“每辆车容量有限”“每个点的需求量不同”，TSP单回路模型就装不下，因为它没有“运力”概念，也不拒绝一辆车跑完全部。

所以我一般把决策变量拆成两层：定义 x_ijk 表示第 k 辆车从 i 点开到 j 点；定义 y_ik 表示第 k 辆车服务 i 点。路径层由 x 描述，分配层由 y 描述，装载量则通过需求 d_i 和容量 Q 在约束里体现。虽然从逻辑上 x 可以推出 y，但分开写更利于检查约束和写论文。这是解这类题最基本的建模判断，也是后面所有代码的起点。

2.2 用数学符号把约束写清楚：一个最小可行的D题模型

先把记号列出来，写论文时也可以直接套用：

决策变量：

• x_ijk = 1 表示第 k 辆车从 i 驶向 j
• y_ik = 1 表示第 k 辆车服务节点 i

目标函数是最小化总配送距离：

min Σ_{k∈K} Σ_{i∈V} Σ_{j∈V} c_ij · x_ijk

约束至少要有这么几条。第一，每个需求点必须被恰好服务一次：对任意 i≥1，Σ_k y_ik = 1。第二，流量守恒：如果车辆 k 进入节点 j，它也必须从 j 离开，否则车辆会“消失”。第三，容量约束：车辆 k 服务的所有需求点需求量之和不超过 Q，即 Σ_{i≥1} d_i · y_ik ≤ Q。第四，每辆车从配送中心出发并最终返回配送中心，所以对每辆车要强制起终点都是 0 号点。最后还要消除子回路，否则求解器会给出一个不包含配送中心的独立环路。

如果题面里有时间窗，比如每个需求点有最早/最晚服务时间 [e_i, l_i]，还要加时间变量和到达时间递推约束：t_j ≥ t_i + s_i + t_ij 且 e_i ≤ t_i ≤ l_i，其中 s_i 是服务时长。2022年这道题主要卡在容量和车辆数上，但很多变体题会加时间窗，建模时先把时间字段读清楚再做决定。

2.3 选型：为什么先用精确求解器验证小样例，而不是直接上遗传算法

很多队伍一看到车辆路径就写遗传算法，理由往往是“VRP经典解法”。但我建议先别急着上GA。遗传算法有三个先天问题：一是解的质量依赖种群规模和迭代次数，调参像玄学；二是它很难证明当前解是最优；三是所有硬约束都要通过惩罚项塞进适应度函数，罚太轻不满足约束，罚太重解明显畸形。对D题这种几十个点的小规模问题，完全可以用精确或约束规划方法先拿到一个可证明接近最优的解。

我习惯的路线是：先用 ortools 的 routing 库直接求解，它内部是约束规划加局部搜索，对“若干辆车、容量约束、配送中心”这类模型支持得很好。如果数据量特别大（几百个点），再考虑改成自适应大邻域搜索或遗传算法，并保留 ortools 的解做初值。还有一个很实际的原因：写论文时“ortools求解加上结果表”很实在，评审能复现；写“遗传算法+调参调了两周”容易变成黑匣子。模型先立住，后面做灵敏度分析才有底气。

为了确认模型本身没错，我会先用三个需求点、一辆车、总需求小于容量的小样例手算一遍：最优解显然是配送中心绕这三个点一圈回来。把这个结果和求解器输出对一下，如果一致，说明约束没有写歪；如果不一致，先用这个mini样例定位问题。这一步看起来简单，却是我在比赛里用过最有效的debug方式。接下来进入代码。

3. 代码落地：用ortools在本地跑通D题的最小复现流程

3.1 数据准备：把题面里的配送表转成距离矩阵

赛题一般会给一张配送点表，包含编号、坐标和需求量，配送中心通常编号为0。先把表存成CSV，格式如下：

导入pandas并构建距离矩阵：

import pandas as pd import numpy as np df = pd.read_csv("delivery_points.csv") print(df.head()) coords = df[["x", "y"]].values num_nodes = len(df) # 欧氏距离矩阵，dist[i][j] 表示点 i 到点 j 的距离 dist = np.sqrt(((coords[:, None, :] - coords[None, :, :]) ** 2).sum(axis=2)) np.fill_diagonal(dist, 0)

这段代码把DataFrame里的坐标取出来，用广播计算所有点对之间的欧氏距离，得到一个n乘n矩阵。第0行是配送中心到各需求点的距离。需要注意两点：如果赛题给的是经纬度坐标，直接用欧氏距离会有误差，需要改成Haversine公式；如果坐标是平面直角坐标，欧氏距离没问题，但计算前最好确认横纵轴单位一致。距离矩阵是后面所有模型和可视化的公共输入，建议存成npy文件，免得不同模块重复算。

np.save("distance_matrix.npy", dist) demands = df["demand"].values

3.2 建模代码：容量约束、车辆数量和求解参数一次说清

我用ortools的routing库写一个最小可运行模型，包含容量约束和车辆数量。注意ortools对arc cost要求整数，如果距离有小数，可以先放大取整。

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2, pywrapcp def solve_vrp(dist, demands, num_vehicles=2, capacity=100, time_limit_sec=60): num_nodes = len(dist) manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(num_nodes, num_vehicles, 0) routing = pywrapcp.RoutingModel(manager) # 距离回调：ortools 要求返回整数，dist 是 numpy 浮点数要显式转换 def dist_callback(from_idx, to_idx): node_from = manager.IndexToNode(from_idx) node_to = manager.IndexToNode(to_idx) return int(dist[node_from][node_to]) transit_cb = routing.RegisterTransitCallback(dist_callback) routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_cb) # 需求回调：配送中心 0 号点需求记为 0，避免占用容量 def demand_callback(from_idx): node = manager.IndexToNode(from_idx) return demands[node] if node != 0 else 0 demand_cb = routing.RegisterUnaryTransitCallback(demand_callback) routing.AddDimensionWithVehicleCapacity( demand_cb, 0, # slack 上限 [capacity] * num_vehicles, True, # 车辆在起点累计装载为 0 "Capacity" ) search_params = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters() search_params.first_solution_strategy = ( routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC ) search_params.time_limit.seconds = time_limit_sec solution = routing.SolveWithParameters(search_params) return manager, routing, solution

这里最关键的是两个回调。距离回调把弧段成本交给求解器，所有后续目标值都由它算；需求回调告诉模型每个点的物资需求。注意 AddDimensionWithVehicleCapacity 的第二个参数是 slack 上限，0 表示不允许在点之间累积多余余量；第三个参数传入列表，长度必须等于车辆数，如果各车载重不同，就改成 [c1, c2, ...] 而不是 [capacity] * num_vehicles。第四个参数传 True，表示车辆从配送中心出发时装载量为 0。起点 0 号点由 RoutingIndexManager 的第三个参数指定，所有车辆默认从它出发并回到它。

如果 dist 里的数值大量落在 0 到 1 之间，直接 int() 会把很多弧段成本变成 0，导致求解器看不到距离差异。这种情况我一般先乘 100 再取整：

return int(dist[node_from][node_to] * 100)

后面的 ObjectiveValue 也相应放大了 100 倍，结果展示时再除以 100 还原，论文里注明单位换算即可。

3.3 结果解析：从求解对象里抽出路线和目标值

求解器返回的是一个Solution对象，直接打印看不出哪条路。需要遍历每辆车的路径：

def extract_routes(manager, routing, solution): routes = [] for vehicle_idx in range(manager.GetNumberOfVehicles()): index = routing.Start(vehicle_idx) route = [] while not routing.IsEnd(index): route.append(manager.IndexToNode(index)) index = solution.Value(routing.NextVar(index)) route.append(manager.IndexToNode(index)) routes.append(route) total_cost = solution.ObjectiveValue() return routes, total_cost

这段代码从每辆车的起点出发，沿着 NextVar 不停走到终点，记录下一串节点编号。注意每条 route 的首尾都是 0，表示配送中心。ObjectiveValue 返回所有弧段成本之和，如果在距离回调里乘了 100，这里要除以 100 才是真实总里程。打印出来大概是：

Route 0: 0 -> 3 -> 1 -> 0, cost 68 Route 1: 0 -> 2 -> 4 -> 5 -> 0, cost 45 Total cost: 113

看到这样的输出，就说明求解器已经找到了一个合法解。如果某辆车只有 0 -> 0，说明这辆车没被用到，这在车辆数大于需求数时很正常，论文里可以写明“实际启用车辆数为多少”。

3.4 参数调整：车辆数、容量和time_limit的联动关系

参数调整直接影响解质量和论文结果表，列出我常用的对照：

如果题目没给车辆数，先用math.ceil(sum(demands) / capacity)算最少车辆数，再往上加一辆观察总里程是否下降。每次调整参数后要重新提取 routes 并保存，因为后面论文里所有结果表、路线图、灵敏度分析都以这份 routes 为准。

提示：实际比赛中 time_limit 不建议低于 30 秒，否则路线图会显得很碎，而且论文里的“求解时间”字段写不出好看的数字。

4. 论文写作：把题解从“能跑”包装成“能交”

4.1 论文骨架：摘要、假设、符号表、模型、评价的排布

D题评阅很看重“问题分析-模型建立-求解-验证”的闭环，不建议按代码顺序写论文。我习惯用下面这个结构：

• 摘要
• 问题重述与假设
• 符号说明
• 模型建立（目标函数与约束）
• 求解方法（ortools/GA 的参数）
• 求解结果（路线图、结果表）
• 灵敏度分析
• 模型评价

摘要别写“本文通过……”这种空话，要直接给结论。举例：针对 MathorCup D 题物资配送问题，建立以总配送里程最小为目标的 0-1 整数规划模型，用 ortools 求解器在 60 秒内求得总里程 113 的配送方案，并分析车辆数、容量对总里程的敏感性。这样一段话，评阅人能在十秒内知道你做了什么、用什么方法、结果怎样。

问题假设也很重要，不要写“假设所有车辆速度相同”这种一句带过的东西。要写清楚：坐标是平面直角坐标还是经纬度、距离成本是否等于时间成本、车辆是否限定了每辆车最大行驶里程。这些假设直接决定你的模型适用范围，也是灵敏度分析的前提。符号说明表放到模型前面，能让后面的公式看起来干净很多。

4.2 用matplotlib画可放论文的路线图与收敛图

路线图是D题论文里最直观的结果展示，评委基本都会先看图。画图时不同车辆用不同颜色，配送中心用醒目标记，需求点标上编号：

import matplotlib.pyplot as plt def plot_routes(coords, routes, save_path="routes.png"): plt.figure(figsize=(8, 6)) colors = ["#1f77b4", "#ff7f0e", "#2ca02c", "#d62728", "#9467bd"] for veh_idx, route in enumerate(routes): color = colors[veh_idx % len(colors)] xs = [coords[node, 0] for node in route] ys = [coords[node, 1] for node in route] plt.plot(xs, ys, marker="o", color=color, linewidth=1.5, label=f"vehicle {veh_idx + 1}") for node in route: if node != 0: plt.text(coords[node, 0] + 0.5, coords[node, 1] + 0.5, str(node), fontsize=9) plt.scatter(coords[0, 0], coords[0, 1], c="red", s=90, marker="s", label="center", zorder=5) plt.xlabel("x") plt.ylabel("y") plt.legend() plt.grid(alpha=0.3) plt.savefig(save_path, dpi=300, bbox_inches="tight")

这里 coords 是输入的 n×2 数组，routes 是 extract_routes 的输出，每条路线都是节点编号数组。画图时要注意 route 首尾的 0 号点会被重复画两次，但对连线没有影响。如果有车辆路线是空的，画出来会是中心点上的一堆点，建议在图例里标注“实际启用车辆数”，不要把所有空车都画进去，否则图会显得很乱。保存时用 dpi=300，论文插图基本够用。

4.3 灵敏度分析：一张参数表让评审快速建立信任

灵敏度分析不是赛后补的装饰，而是证明你理解模型参数作用的关键。D题最常见的分析对象就是车辆数和容量，二者都会影响总里程和实际启用车辆数。做法很简单：固定一个参数，扫描另一个参数，记录求解结果。

for cap in [80, 100, 120]: manager, routing, res = solve_vrp(dist, demands, num_vehicles=2, capacity=cap) routes, total = extract_routes(manager, routing, res) actual = sum(1 for r in routes if len(r) > 2) print(cap, total, actual)

把输出整理成一张表，例如：

这张表不用大，但一定要配上文字分析。比如“容量从 100 降到 80 后出现无可行解，说明方案对运力非常敏感；车辆数从 2 增加到 3，总里程下降 13%，但更多车辆意味着更多出车成本”。这种分析能让论文从“跑代码交差”变成“有工程判断”。

5. 避坑：D题从数据到论文最容易翻车的五个现场

D题从数据到论文，翻车点其实很集中。我整理了五个最常见场景，每个按现象、原因、解决写，你在比赛里遇到任何一个都能少走弯路。

5.1 现象：把“服务时间”误当“时间窗”，模型直接无解

现象：导入数据后看到一列 time，想都没想就加了时间窗约束，求解器返回“无解”或持续搜索。 原因：有些题目里的时间是每个需求点的“卸货/服务时长”，不是“可到达的时间窗口”。服务时长只是把到达时间往后推，并不限制车辆必须在一个区间内到达。 解决：先做字段清单，把“服务时间”“时间窗”“最早/最晚到达”“车速”分开。确认题目原话是“最晚送达不超过 X 点”才加硬时间窗；如果只是服务时长，在约束里加一个 t_j ≥ t_i + s_i + t_ij 即可，不需要限制上下界。

5.2 现象：求解器长时间不返回，原因却在容量维度

现象：数据只有 20 个点，运行却好几分钟不出结果；改成更小的车辆数反而直接无解。 原因：最常见的是需求回调里把配送中心的需求算进去了，导致每辆车都被白白占掉一份容量；其次是容量列表长度和车辆数不一致，求解器把一部分车辆视为 0 容量。 解决：在 demand_callback 里显式判断 node == 0 时返回 0；用assert len(capacity_list) == num_vehicles检查列表长度。还有个排查技巧：先把容量设成极大值跑一遍，如果能快速出解，说明瓶颈就在容量约束上。

5.3 现象：距离矩阵有小数，解出来的路线反而绕远

现象：坐标算出来 dist 是小数，打印 route 看起来方向合理，但总里程比手算高很多。 原因：ortools 要求 arc cost 是整数，小数距离被直接 int() 截断，比如 0.6 变成 0，很多弧段成本失真，求解器“看不见”绕路成本。 解决：距离先乘以倍数再取整，例如int(dist[i][j] * 100)，求解后再除以 100 还原。在论文中注明“距离单位统一到 0.01 km”。如果坐标是经纬度，用 Haversine 公式算公里数，再同样缩放取整。

5.4 现象：论文摘要写完了，模型一验算就露馅

现象：摘要里写了“求得总里程最小值为 113”，画好路线图，再跑一天数据却得到不同结果，只能临时改数字。 原因：摘要写得太早，结果没经过小样例验证；或者求解器每次跑的 time_limit 不同导致解不同。 解决：写摘要前先用 3~5 个点的极小数据手算一遍，确认模型正确的那个值；再固定 time_limit 和随机种子跑正式数据，把求解器输出、路线图、结果表一次性生成，最后再动笔写摘要。这样摘要里的每个数字都有出处。

5.5 现象：队友电脑复现不出你的结果

现象：同一个脚本，你的机器出解，队友机器要么报 IndexError 要么解完全不同。 原因：数据文件用了相对路径、Python 版本或 ortools 版本不一致、脚本中某些操作在不同架构上行为不同。 解决：脚本启动时先校验数据文件存在性，路径用Path(__file__).parent定位；在脚本头部打印 ortools 版本和 Python 版本；如果目标函数依赖浮点精度，固定放大倍数。把运行环境和命令行写进论文附录，对“可复现性”反而是加分项。

6. 交稿前最后一招：用check脚本把隐藏炸弹拆掉

6.1 check脚本要查哪几个不变量

前面所有步骤都可能出错，特别是手改车辆数、容量后，routes 可能悄悄不合法。我习惯在交稿前跑一遍校验脚本，不通过就绝不动笔写最终摘要。校验逻辑固定查四件事：每辆车是否从中心出发并回到中心、每条路线需求量是否超容量、每个需求点是否被恰好服务一次、总里程是否和求解器 ObjectiveValue 一致。

def check_solution(routes, demands, capacity, dist, objective_value=None): served = [] errors = [] total_by_routes = 0 for veh_idx, route in enumerate(routes): if route[0] != 0 or route[-1] != 0: errors.append(f"vehicle {veh_idx}: 起点或终点不是配送中心") load = sum(demands[node] for node in route if node != 0) if load > capacity: errors.append(f"vehicle {veh_idx}: 超载 {load}/{capacity}") served += route[1:-1] total_by_routes += sum(dist[route[i]][route[i + 1]] for i in range(len(route) - 1)) expected = [i for i in range(1, len(demands))] if sorted(served) != expected: errors.append("需求点有重复或遗漏") if objective_value is not None and abs(total_by_routes - objective_value) > 1e-6: errors.append("总里程与求解器目标值不一致") return errors

这段代码不依赖 ortools，只吃 routes、demands、capacity、dist，纯算数就能找出问题。served 列表把每条 route 的中间节点全部收集，再排序和期望集合比对，重复和遗漏都会暴露。容量检查里route if node != 0是为了不把中心点的 0 需求重复累加，其实加上也不影响，但写成这样更明确。

我自己的血泪经验是，去年解 D 题时 route 解析脚本里不小心把配送中心编号写成了 1，导致每条 route 都在一个错误节点上，但路线图看起来很规律，摘要也写了“总里程 113”——直到跑 check 脚本才发现需求点编号错位，超载没被真正检查。从那以后，check 脚本成了交稿前的固定动作，哪怕只改了 time_limit 也要重跑一遍。希望帮到你。

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