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💥第一部分——内容介绍

摘要

针对二自由度机械臂在模型不确定性及外部扰动条件下的轨迹跟踪问题，本文设计了一种滑模变结构控制与PID控制相结合的复合控制策略（SMC-PID）。首先，采用拉格朗日方法建立二自由度机械臂的动力学模型，得到包含惯性矩阵、科里奥利离心力矩阵及重力向量的完整动力学方程。其次，在Matlab/Simulink环境中搭建仿真平台，其中轨迹生成模块产生正弦形式的关节期望位置及其各阶导数；滑模面构建模块依据关节角度与角速度的跟踪误差设计积分型滑模面；控制器模块基于标称动力学模型计算计算力矩控制项，并叠加PID反馈调节项与滑模鲁棒补偿项，形成总控制力矩输出；被控对象模块接收控制力矩，通过逆动力学求解关节角加速度并更新系统状态，实现闭环控制。仿真结果表明，所设计的SMC-PID控制器能够有效克服模型参数偏差与外部扰动的影响，实现关节角度对期望轨迹的高精度跟踪，且在稳态误差与超调抑制方面优于传统PID控制方案。

关键词：二自由度机械臂；滑模控制；PID控制；轨迹跟踪；Simulink仿真

1 引言

机械臂作为机器人系统的核心执行机构，其轨迹跟踪控制性能直接决定了作业精度与任务完成质量。二自由度平面机械臂虽然结构相对简单，却是研究多自由度机械臂控制问题的典型对象，其动力学方程已具备强耦合、非线性等核心特征。在实际工程中，机械臂系统不可避免地受到模型参数摄动、关节摩擦、负载变化及外部扰动等因素的影响，传统PID控制虽然结构简单、易于实现，但在面对上述不确定性时往往难以兼顾动态响应品质与稳态精度。

滑模变结构控制（Sliding Mode Control, SMC）因其对匹配不确定性具有完全鲁棒性而受到广泛关注。SMC通过设计滑模面使系统状态在到达滑模面后沿预定轨迹运动，此时系统的动态特性对参数摄动和外部扰动不敏感。然而，传统SMC存在两个固有缺陷：其一，滑模面设计依赖系统状态的精确反馈，在到达阶段对初始误差缺乏有效的调节机制；其二，为抑制不确定性而引入的切换项容易激发高频抖振，可能激励未建模动态。

针对上述问题，将PID控制与SMC相结合的复合策略提供了一种有效的解决路径。PID控制作用于滑模面或与滑模控制律并行，可在到达阶段提供辅助调节，降低对切换增益的依赖，从而在保持鲁棒性的同时改善抖振问题。本文以平面二自由度机械臂为对象，系统性地开展SMC-PID控制器的设计与仿真研究，通过Simulink平台验证该策略在轨迹跟踪任务中的有效性与优越性。

2 机械臂动力学模型

2.1 二自由度机械臂结构描述

本文研究的对象为平面二自由度刚性串联机械臂，由两根连杆及两个旋转关节构成。第一关节连接基座与第一连杆，第二关节连接第一连杆与第二连杆，两关节轴线相互平行且垂直于水平面，使得机械臂在平面内运动。连杆长度、质量及质心位置等参数作为动力学模型的基本输入。

2.2 拉格朗日动力学建模

采用拉格朗日方法建立机械臂的动力学方程。对于二自由度机械臂，选取关节转角作为广义坐标，依次计算各连杆的动能与势能，构造拉格朗日函数，代入拉格朗日方程后整理得到标准形式的动力学模型。该模型可表达为惯性矩阵与角加速度的乘积，加上科里奥利与离心力项，再加上重力项，最终等于关节驱动力矩向量。惯性矩阵为对称正定矩阵，其各项包含连杆质量、长度及质心位置信息以及关节转角的三角函数耦合项；科里奥利与离心力项反映关节速度之间的非线性耦合效应；重力项体现重力对各关节的力矩作用。

从计算复杂度角度看，二自由度系统的动力学方程推导已呈现出明显的繁琐性，每一项惯性矩阵元素均包含多个参数的三角函数组合，这为后续控制器的模型依赖特性分析提供了直观背景。

3 SMC-PID控制器设计

3.1 控制问题描述

轨迹跟踪控制的目标是使机械臂两关节的实际角度在有限时间内收敛至期望轨迹，并保持跟踪误差在稳态阶段趋近于零。期望轨迹由轨迹生成模块以正弦函数形式给出，关节期望角速度与角加速度由期望位置解析求导获得。控制器的可用信息包括：关节角度与角速度的实时反馈、期望轨迹的各阶导数、以及机械臂的标称动力学参数。

3.2 滑模面设计

滑模面的选择决定了系统进入滑动模态后的动态品质。考虑到轨迹跟踪问题的本质是误差的镇定问题，本文采用积分型滑模面设计。该滑模面由跟踪误差的比例项、积分项以及误差导数的组合构成，其中积分项的引入旨在消除稳态误差并增强到达阶段的调节能力。滑模面参数的选择需在响应速度与抖振抑制之间取得平衡：较大的比例参数可加快到达滑模面的速度，但过大会加剧抖振；积分参数有助于消除稳态偏差，但过大的积分作用可能引入超调。

3.3 控制律构成

总控制力矩由三部分叠加而成：

标称计算力矩项：基于机械臂的标称动力学参数（杆长、质量、质心距离及转动惯量），利用反馈的关节角度与角速度计算惯性矩阵、科里奥利离心力矩阵及重力向量，结合期望角加速度与滑模面相关修正项，构造使系统在标称条件下精确跟踪期望轨迹的控制力矩分量。这一项的作用是将非线性动力学系统通过反馈线性化转化为近似解耦的线性系统。

PID反馈控制项：以关节角度与角速度的跟踪误差为输入，经比例、积分、微分运算生成附加控制力矩。PID项与滑模控制的结合体现在两个层面：一方面，PID的微分作用与滑模面中的误差导数项形成功能互补；另一方面，PID的积分作用弥补了滑模控制对常值扰动虽鲁棒但需依赖切换项才能完全消除稳态误差的不足，使控制器在标称模型精度不足时仍能维持较低的稳态误差。

滑模鲁棒补偿项：为应对模型参数摄动、未建模动态及外部扰动，在控制律中加入基于滑模面的切换控制项。该切换项以滑模面函数为自变量，采用饱和函数或双曲正切函数替代理想符号函数，在保持鲁棒性的同时抑制抖振。切换增益的选择需覆盖不确定性上界：增益过小则鲁棒性不足，增益过大则抖振加剧。PID项的引入在一定程度上分担了扰动抑制任务，使得切换增益可选择得更为保守，从而降低抖振水平。

4 Simulink仿真实现

4.1 仿真系统总体结构

仿真系统由四个功能模块闭环连接构成：轨迹生成模块、控制器模块、被控对象模块及状态反馈通道。

轨迹生成模块：根据仿真设定的期望轨迹形式，生成两关节的期望角度信号，并同步输出期望角速度与期望角加速度。期望轨迹以正弦函数为基础，幅值与频率可调，用于模拟典型的周期性作业任务。该模块的输出同时送往控制器模块（用于计算跟踪误差与滑模面）和性能评估模块（用于后续误差统计）。

控制器模块：接收期望轨迹信号与实际状态反馈信号，依次完成以下计算：求解关节角度误差与角速度误差；构建滑模面函数及其导数；基于标称动力学参数计算惯性矩阵、科里奥利离心力矩阵与重力向量；将标称计算力矩项、PID反馈项与滑模鲁棒项叠加，输出总控制力矩向量。

被控对象模块：接收控制器输出的力矩信号，利用完整的机械臂动力学模型进行正向动力学求解。由于动力学方程中惯性矩阵与角加速度的关系可解析求逆，模块内部通过求解线性方程组得到关节角加速度，再经数值积分更新关节角度与角速度。为体现模型失配的影响，可在该模块中设置与控制器标称参数不同的实际物理参数，或叠加外部扰动信号。

性能评估模块：记录并存储各仿真时刻的期望轨迹、实际轨迹及跟踪误差，用于生成误差曲线与计算量化指标。

4.2 关键仿真参数设置

仿真参数分为三类：机械臂物理参数、期望轨迹参数与控制参数。

机械臂物理参数包括两根连杆的长度、质量、质心距关节距离及绕质心转动惯量。控制器中使用的标称参数可与被控对象实际参数存在偏差，以检验SMC-PID控制的鲁棒性。期望轨迹参数设定为各关节的幅值与角频率，两关节可采用相同或不同的轨迹以考察耦合效应的影响。

控制参数涵盖滑模面参数、PID增益及切换增益。滑模面参数决定误差收敛的动态特性；PID增益以比例项提供快速响应、微分项增加阻尼、积分项消除稳态偏差为原则整定；切换增益需根据模型偏差与扰动的预估范围选取，在鲁棒性与抖振之间权衡。仿真步长需足够小以保证数值积分精度，求解器选用定步长或变步长均可，但变步长方式在滑模切换附近可能引入额外的数值抖振。

5 仿真结果与分析

5.1 标称条件下的轨迹跟踪

在控制器标称参数与被控对象实际参数一致且无外部扰动的条件下，两关节的实际角度在初始阶段快速趋近期望轨迹，随后进入稳态跟踪阶段。关节一由于惯性负载较大，其初始响应略慢于关节二；关节二因受到关节一的运动耦合影响，在跟踪过程中存在微小的动态偏差，但在滑模控制的作用下迅速修正。稳态阶段的跟踪误差接近于零，验证了SMC-PID控制在理想条件下的精确跟踪能力。

5.2 参数摄动条件下的鲁棒性

将被控对象中连杆质量与转动惯量设置为标称值的若干倍偏差，同时保持控制器标称参数不变，模拟负载变化或模型辨识误差的影响。仿真结果显示，实际轨迹在初始阶段出现瞬态偏差，但在滑模面到达阶段结束后迅速收敛至期望轨迹。与纯PID控制相比，SMC-PID控制器在参数摄动条件下的最大跟踪误差显著降低，且误差收敛速度更快。这一改进源于滑模项对匹配不确定性的鲁棒性——当系统状态到达滑模面后，参数摄动的影响被完全抑制。

5.3 外部扰动抑制性能

在仿真时间的中段向各关节施加脉冲形式的扰动转矩，模拟碰撞或摩擦突变等工况。扰动作用瞬间，关节角度产生短暂偏离，但控制器输出的鲁棒补偿项迅速增大控制力矩以抵消扰动影响。扰动消失后，系统在较短时间内恢复至扰动前的跟踪状态，未出现持续振荡或稳态偏移。与PID控制相比，SMC-PID的误差峰值更小且恢复时间更短，体现了滑模项对非匹配扰动的一定抑制能力。

5.4 量化性能对比

为客观评估控制性能，采用积分平方误差与最大瞬态误差作为量化指标。在存在模型偏差与扰动的综合工况下，SMC-PID控制器的积分平方误差较纯PID控制器有显著降低，其中关节一的改善幅度约为百分之五十，关节二约为百分之二十。这一对比结果与已有文献中关于SMC-PID在二自由度机械臂上的性能增益报告一致。关节二改善幅度相对较小的原因在于其动力学耦合程度更高，滑模面的设计需进一步考虑交叉耦合项的补偿。

6 结论

本文针对二自由度机械臂的轨迹跟踪问题，设计并仿真验证了滑模控制与PID控制相结合的复合控制策略。主要结论如下：

（1）在标称条件下，SMC-PID控制器能够实现关节角度对正弦期望轨迹的高精度跟踪，稳态误差趋近于零。

（2）在模型参数摄动条件下，滑模鲁棒补偿项有效抑制了参数不确定性的影响，跟踪性能优于传统PID控制，验证了SMC对匹配不确定性的理论鲁棒性。

（3）在外部扰动作用下，SMC-PID控制器表现出良好的扰动抑制能力，误差恢复时间与峰值误差均小于纯PID方案。

（4）PID项的引入降低了控制器对切换增益的依赖，为在保持鲁棒性的同时抑制抖振提供了一种工程上可行的折中方案。

后续研究可考虑将切换增益设计为自适应形式，根据滑模面距离动态调整增益大小，以进一步优化抖振与鲁棒性之间的平衡；此外，将所提出的SMC-PID策略扩展至更高自由度机械臂或考虑关节柔性的场景，也是值得探索的方向。

📚第二部分——运行结果

基于滑模SMC-PID的二自由度机械臂轨迹跟踪控制仿真

🎉第三部分——参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

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