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《飞控数学与控制 · 新手入门连载》第 9 期｜约束优化与二次规划：为 MPC 铺路

导读：第 8 期的梯度下降和牛顿法解的是"无约束"最优化——参数随便取。但真实飞控处处是约束：电机转速不能超过上限、PWM 输出有饱和区、姿态角不许乱翻、避障时位置有边界。本期讲约束优化：拉格朗日乘子法是怎么回事、**二次规划（QP）**为什么是飞控优化的事实标准，以及它和模型预测控制（MPC，第 18 期）的关系。读完你会看懂"混控器限幅"和"MPC 每步在解什么"。

一、为什么飞控离不开约束优化

约束优化的一般形式：

min⁡xf(x)s.t.gi(x)≤0, hj(x)=0 \min_x f(x) \quad \text{s.t.} \quad g_i(x) \le 0,\; h_j(x) = 0xmin​f(x)s.t.gi​(x)≤0,hj​(x)=0

gi≤0g_i \le 0gi​≤0是不等式约束，hj=0h_j = 0hj​=0是等式约束。飞控实例：

• 电机转速：0≤ω≤ωmax⁡0 \le \omega \le \omega_{\max}0≤ω≤ωmax​（不等式约束）；
• 姿态角：∣ϕ∣≤ϕmax⁡|\phi| \le \phi_{\max}∣ϕ∣≤ϕmax​（防翻转）；
• 混控器输出：umin⁡≤u≤umax⁡u_{\min} \le u \le u_{\max}umin​≤u≤umax​（PWM 限幅）。

没有约束时最优解可能在可行域外；有约束时最优点可能"卡"在边界上——这是本期要讲的几何直觉。

二、拉格朗日乘子法：等式约束的几何直觉

先看等式约束（技巧：从简单情况入手）：

min⁡xf(x)s.t.h(x)=0 \min_x f(x) \quad \text{s.t.} \quad h(x) = 0xmin​f(x)s.t.h(x)=0

2.1 几何直觉

h(x)=0h(x)=0h(x)=0在平面上是一条曲线。沿这条曲线移动xxx，fff的等高线会变化。最优点的特征：等高线恰好与约束曲线相切——此时∇f\nabla f∇f与∇h\nabla h∇h平行（技巧：相切 ⟹ 法线共线）：

∇f(x∗)=−λ ∇h(x∗) \nabla f(x^*) = -\lambda\,\nabla h(x^*)∇f(x∗)=−λ∇h(x∗)

2.2 拉格朗日函数与推导

定义（技巧：把约束"罚"进目标）：

L(x,λ)=f(x)+λ h(x) L(x, \lambda) = f(x) + \lambda\, h(x)L(x,λ)=f(x)+λh(x)

λ\lambdaλ叫拉格朗日乘子。最优性条件（技巧：对全部变量求导置零）：

∂L∂x=∇f(x)+λ∇h(x)=0 \frac{\partial L}{\partial x} = \nabla f(x) + \lambda\nabla h(x) = 0∂x∂L​=∇f(x)+λ∇h(x)=0

∂L∂λ=h(x)=0 \frac{\partial L}{\partial \lambda} = h(x) = 0∂λ∂L​=h(x)=0

第一个式子就是"梯度平行"（∇f=−λ∇h\nabla f = -\lambda\nabla h∇f=−λ∇h），第二个式子把约束拉了回来。两个方程解出x∗x^*x∗和λ\lambdaλ——拉格朗日乘子法把"带约束的最优化"变成"无约束的方程组"。

2.3 不等式约束与 KKT 条件（简述）

对g(x)≤0g(x) \le 0g(x)≤0，最优性条件推广为 KKT（Karush–Kuhn–Tucker）条件，核心是互补松弛（技巧：记住"要么约束不紧、要么乘子为零"）：

λg(x)=0,λ≥0 \lambda g(x) = 0, \quad \lambda \ge 0λg(x)=0,λ≥0

含义：约束不起作用（g<0g<0g<0）时λ=0\lambda=0λ=0；约束起作用（g=0g=0g=0，即"卡在边界"）时λ>0\lambda>0λ>0。这解释了飞控限幅：电机没到上限时它不影响优化，一旦触到上限，最优解就贴在边界上。

三、二次规划 QP：飞控优化的事实标准

3.1 定义

目标函数为二次、约束为线性的优化问题（技巧：最"温和"的非线性优化）：

min⁡x12xTQx+cTxs.t.Ax≤b \min_x \frac{1}{2}x^T Q x + c^T x \quad \text{s.t.} \quad A x \le bxmin​21​xTQx+cTxs.t.Ax≤b

其中QQQ对称半正定（保证凸性，凸问题只有一个全局最优）。为什么飞控离不开 QP：

1. 很多实际目标（误差平方和、能量最小）本身就是二次的；
2. 线性约束能表达饱和、边界；
3. 凸 QP 有成熟高效算法（内点法、主动集法、OSQP），微秒到毫秒级可解；
4. MPC 每步控制都解一个 QP。

3.2 可行域几何

每个线性不等式aiTx≤bia_i^T x \le b_iaiT​x≤bi​是半空间，多个半空间相交成多面体（可行域）。无约束最优解如果在多面体内，直接取它；如果在外，最优解"投影"到边界上。

3.3 如何解 QP（直觉版）

• 主动集法：猜哪些不等式"卡住"（叫主动集），当作等式约束用拉格朗日解，再检查其他约束是否违反、乘子符号是否合法，迭代修正（技巧：本质是拉格朗日 + 猜边界）；
• 内点法：把不等式用对数障碍函数−μ∑ln⁡(bi−aiTx)-\mu\sum\ln(b_i-a_i^Tx)−μ∑ln(bi​−aiT​x)平滑掉，用牛顿法迭代、逐步让μ→0\mu\to 0μ→0。

四、飞控实例：电机混控推力分配（带饱和的 QP）

四旋翼的混控问题：已知期望的三轴力矩与总推力τdes∈R4\tau_{des} \in \mathbb{R}^4τdes​∈R4，求四个电机转速平方u∈R4u \in \mathbb{R}^4u∈R4（ui=ωi2u_i = \omega_i^2ui​=ωi2​），使实际输出尽可能接近期望，同时转速有上下限：

min⁡u12∥Bu−τdes∥2s.t.umin⁡≤ui≤umax⁡ \min_u \frac{1}{2}\left\| B u - \tau_{des} \right\|^2 \quad \text{s.t.} \quad u_{\min} \le u_i \le u_{\max}umin​21​∥Bu−τdes​∥2s.t.umin​≤ui​≤umax​

其中BBB是4×44\times 44×4混控矩阵（技巧：由几何布局决定的常数矩阵）。展开目标（技巧：∥Bu−τ∥2=uTBTBu−2τTBu+const\|Bu-\tau\|^2 = u^TB^TBu - 2\tau^TBu + \text{const}∥Bu−τ∥2=uTBTBu−2τTBu+const）：

12uT(BTB)⏟Qu−(BTτdes)⏟cu+const \frac{1}{2}u^T \underbrace{(B^TB)}_{Q} u - \underbrace{(B^T\tau_{des})}_{c} u + \text{const}21​uTQ(BTB)​​u−c(BTτdes​)​​u+const

正是标准 QP 形式，约束umin⁡≤u≤umax⁡u_{\min} \le u \le u_{\max}umin​≤u≤umax​写成Au≤bA u \le bAu≤b。饱和发生时（某电机到上限），QP 的最优解会把多余的期望力矩重新分配给未饱和的电机——这就是飞控里"限幅但不失稳"的数学基础。再往前一步，把状态预测 N 步、每步带约束地解 QP，就是模型预测控制 MPC（第 18 期），滚动优化让无人机贴着性能边界飞行而不违反约束。

五、小结与下期预告

小结：

1. 约束优化min⁡f s.t. g≤0,h=0\min f \text{ s.t. } g\le0, h=0minfs.t.g≤0,h=0描述真实飞控的饱和与边界；
2. 拉格朗日乘子法：最优处∇f\nabla f∇f与∇h\nabla h∇h平行，KKT 的互补松弛λg=0\lambda g=0λg=0解释"卡边界"；
3. QP = 二次目标 + 线性约束，凸、可高效求解，是 MPC 的每步子问题；
4. 混控推力分配就是带饱和的 QP，饱和时最优解自动重分配力矩。

思考题：

1. 为什么凸 QP 只有一个全局最优？（答案：凸函数 + 凸可行域）
2. 电机没有饱和时，QP 解和无约束解一样吗？（答案：一样，约束不起作用 λ=0）
3. MPC 为什么需要 QP 求解器足够快？（答案：每个控制周期都要在线解一次）

下期预告：第 10 期进入经典控制——传递函数、时域/频域分析与稳定性判据，飞控从"优化视角"转向"反馈视角"。

参考资源：

• 《Convex Optimization》Boyd & Vandenberghe（QP、KKT、内点法）
• 《Model Predictive Control》Rawlings & Mayne
• OSQP / qpOASES 求解器文档（嵌入式 QP 实现）