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数据库模式分解：如何判定“保持函数依赖”？

关系模式分解里，有两个最容易混的概念：

• 无损连接：拆完表后，能不能通过自然连接把数据完整拼回去。
• 保持函数依赖：拆完表后，原来的业务约束是否还能被“找回来”。

这篇只讲后者：怎么判定一个分解是否保持函数依赖。

一、先搞懂：什么叫“保持函数依赖”？

设关系模式是：

R ( U , F ) R(U, F)R(U,F)

其中：

• U UU是属性集；
• F FF是原函数依赖集；
• 把R RR分解成若干子模式：R 1 , R 2 , … , R k R_1, R_2, \dots, R_kR1​,R2​,…,Rk​。

如果F FF中的每个函数依赖，都能由分解后各子模式上的函数依赖推导出来，那么这个分解就是保持函数依赖的。

通俗一点说：

原来的规则，拆表之后不能丢。
要么某个依赖完整地落在某张子表里；
要么虽然被拆开了，但通过各子表的依赖联合推导，仍然能恢复出来。

注意：保持函数依赖 ≠ 无损连接。
一个分解可以保持依赖但不是无损连接；也可以无损连接但不保持依赖。

二、判定保持函数依赖的标准思路

判定流程可以分成四步。

第一步：列出原函数依赖集F FF

先把题目给出的所有函数依赖写清楚，例如：

F = { A → B , A → C , C → D , A E → G } F = \{A \rightarrow B,\ A \rightarrow C,\ C \rightarrow D,\ AE \rightarrow G\}F={A→B,A→C,C→D,AE→G}

后面每一步都要围绕这个集合检查。

第二步：对每个子模式求“投影依赖”

对每个子模式R i R_iRi​，找出那些左右属性都落在R i R_iRi​中的函数依赖。

例如：

• 若R 1 ( A , B , C , D ) R_1(A, B, C, D)R1​(A,B,C,D)，
• 原依赖中有A → B A \rightarrow BA→B、A → C A \rightarrow CA→C、C → D C \rightarrow DC→D，
• 那么这些依赖都可以在R 1 R_1R1​上保持。

如果某个依赖的左边或右边属性不在R i R_iRi​中，它就不能直接归入R i R_iRi​的投影依赖集。

第三步：合并所有子模式的依赖集

把所有子模式能“认领”的依赖合并起来，记为：

G = ⋃ i = 1 k F i G = \bigcup_{i=1}^{k} F_iG=i=1⋃k​Fi​

其中F i F_iFi​是F FF在R i R_iRi​上的投影依赖集。

第四步：检查F FF中每个依赖是否都能被G GG推导出来

对F FF中的每个依赖X → Y X \rightarrow YX→Y，判断：

Y ⊆ X G + Y \subseteq X_G^+Y⊆XG+​

也就是说，用合并后的依赖集G GG计算X XX的闭包，看能否推出Y YY。

如果所有依赖都能被推出，则分解保持函数依赖；
只要有一个推不出，就不保持。

三、考试常用“快速判断法”

做选择题时，通常可以先用这个简化判断：

如果一个函数依赖的左右属性都完整出现在某个子模式中，那它一定被保持。
如果某个依赖被拆到不同子模式里，且无法通过其他依赖推导出来，那它就可能丢失。

但要注意：
被拆开 ≠ 一定不保持。
因为可能存在传递推导。例如：

• R 1 ( A B ) R_1(AB)R1​(AB)上有A → B A \rightarrow BA→B；
• R 2 ( B C ) R_2(BC)R2​(BC)上有B → C B \rightarrow CB→C；
• 那么A → C A \rightarrow CA→C虽然不在任何单张子表中，但可以通过A → B A \rightarrow BA→B、B → C B \rightarrow CB→C推导出来，因此仍可能被保持。

所以严格判定还是要看闭包。

四、严格判定：用“跨子模式闭包扩展”算法

当某个依赖被拆散时，不能直接判“不保持”，需要用更通用的方法。

对F FF中的每个依赖X → Y X \rightarrow YX→Y：

1. 初始化：
   r e s u l t = X result = Xresult=X

2. 对每个子模式R i R_iRi​：

   • 计算：
     t e m p = r e s u l t ∩ R i temp = result \cap R_itemp=result∩Ri​
   • 求t e m p temptemp关于原依赖集F FF的闭包：
     t e m p + temp^+temp+
   • 取回落在R i R_iRi​内的属性：
     t = t e m p + ∩ R i t = temp^+ \cap R_it=temp+∩Ri​
   • 更新：
     r e s u l t = r e s u l t ∪ t result = result \cup tresult=result∪t

3. 重复第 2 步，直到r e s u l t resultresult不再变化。

4. 最后判断：
   如果Y ⊆ r e s u l t Y \subseteq resultY⊆result，则X → Y X \rightarrow YX→Y被保持；否则不保持。

这个算法的本质是：
利用每个子模式内部能推出的属性，逐步扩大左部能决定的范围，看最终能不能覆盖右部。

五、用一个例子串起来

设：

U = { A , B , C , D , E , G } U = \{A, B, C, D, E, G\}U={A,B,C,D,E,G}

F = { A → B , A → C , C → D , A E → G } F = \{A \rightarrow B,\ A \rightarrow C,\ C \rightarrow D,\ AE \rightarrow G\}F={A→B,A→C,C→D,AE→G}

分解为：

• R 1 ( A , B , C , D ) R_1(A, B, C, D)R1​(A,B,C,D)
• R 2 ( A , E , G ) R_2(A, E, G)R2​(A,E,G)

1. 看每个依赖落在哪里

• A → B A \rightarrow BA→B：属性都在R 1 R_1R1​，保持。
• A → C A \rightarrow CA→C：属性都在R 1 R_1R1​，保持。
• C → D C \rightarrow DC→D：属性都在R 1 R_1R1​，保持。
• A E → G AE \rightarrow GAE→G：属性都在R 2 R_2R2​，保持。

2. 合并依赖集

合并后得到：

G = { A → B , A → C , C → D , A E → G } G = \{A \rightarrow B,\ A \rightarrow C,\ C \rightarrow D,\ AE \rightarrow G\}G={A→B,A→C,C→D,AE→G}

这和原依赖集完全一致。

3. 判定结果

因为F FF中每个依赖都能由G GG直接推出，所以该分解保持函数依赖。

六、容易踩的三个坑

坑 1：把“保持函数依赖”当成“无损连接”

保持依赖看的是规则有没有丢；
无损连接看的是数据能不能拼回去。
两者要分别判定。

坑 2：依赖被拆开就直接判“不保持”

比如A → C A \rightarrow CA→C没有直接出现在任何子表中，但如果子表中有：

• A → B A \rightarrow BA→B
• B → C B \rightarrow CB→C

那么A → C A \rightarrow CA→C仍可能被推导出来。

坑 3：只检查“直接出现”，不做闭包推导

严格做法是：
对每个X → Y X \rightarrow YX→Y，计算X XX在合并依赖集下的闭包，看是否包含Y YY。

七、做题模板

以后遇到“是否保持函数依赖”的题，可以按这个顺序写：

1. 写出原函数依赖集F FF。
2. 对每个子模式R i R_iRi​，写出它能保持的依赖F i F_iFi​。
3. 合并得到G = ⋃ F i G = \bigcup F_iG=⋃Fi​。
4. 对F FF中每个X → Y X \rightarrow YX→Y，判断Y ⊆ X G + Y \subseteq X_G^+Y⊆XG+​。
5. 全部成立 → 保持函数依赖；
   有一个不成立 → 不保持函数依赖。

如果是选择题，通常可以先用“左右属性是否完整落在某个子模式中”快速排除；遇到跨表依赖，再用闭包扩展法确认。