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简介：面向数学建模参赛者与仓储物流优化研究者，这份2020年MathorCup C题《仓内拣货优化问题》完整PDF方案系统展示了从货格距离计算到路径规划的完整建模链条。资源基于曼哈顿距离理论解决货格与复核台间距问题，利用模拟退火模型设计拣货员最短路线，并结合贪心算法与区域划分策略优化多任务单出库与畅销品摆放，最终给出T0001任务单最短出库时间732.867秒、49份任务单最短出库时间5540.87秒等关键结论，对学习组合优化与运筹建模极具参考价值。压缩包共1个PDF文件，大小2.96MB，内容包含问题重述、模型假设、符号说明、模型建立与求解等完整章节，结构清晰，已有1790人学习，适合作为数学建模竞赛备赛与仓储拣货问题研究的案例教材。

1. 仓内拣货优化：一道让 3013 个坐标点逼疯新手的建模题

很多人下载这份“仓内拣货优化”资源，是冲着数学建模和路径规划来的，结果打开正文才发现满屏是曼哈顿距离、模拟退火、Metropolis 准则，一眼看去像天书。实际上这题的核心链条很清晰：先把仓库里 3013 个复核台和货格的坐标换算成可计算的距离矩阵，再对单个任务单做路线优化，最后把多个拣货员、多个复核台的任务分配用贪心策略收敛到最短出库时间。这份论文最值得抄的就是距离公式的四种分支写法、模拟退火的参数配置，以及四十九份任务单的三阶段贪心分配。T0001 最短出库 732.867 秒、四复核台总出库 5540.87 秒等结果都能复算出来。适合正在备赛的参赛队伍、做仓储调度的同学，以及想快速复现一份完整建模方案的从业者。先提醒一句：距离模型没打通，后面模拟退火和贪心全是黑匣子。

2. 距离矩阵怎么建：曼哈顿距离与“绕不绕货架”的两类分支

2.1 先做坐标映射：货格取边中点，偏移值为什么是 750mm

这道题给的是复核台、货架、货格的坐标和长宽，但货格不是一个点，而是一个带面积的格子。直接拿货格中心坐标去算距离，在仓库这种多排货架的环境里会算出“穿墙路线”。论文的处理方式很务实：若货格位于货架左侧，用该货格左边中点坐标代表；若位于右侧，用右边中点坐标代表。这样把二维格子降成一个点，再配合曼哈顿距离，才能让拣货员“贴着货架边取货”这个动作落在数学上。

这里的另一个关键参数是偏移值。当拣货员移动需要绕过货架或复核台时，折线行走会产生额外的横向和纵向偏移。论文统一取水平偏移值 lbias 与竖直偏移值 vbias 均为 750mm。这个数不是拍脑袋定的，它对应仓库道路宽度的一半，可以从附件平面图的比例尺里量出来。如果你拿到的数据坐标单位是毫米，那这个 750 已经是现成的，不需要再换算。

# 示例：把货格数据映射为取货点坐标 # 假设原始字段：grid_id, side（'left'/'right'）, x_left, x_right, y_top, y_bottom def get_pick_point(row): y_mid = (row['y_top'] + row['y_bottom']) / 2 if row['side'] == 'left': return (row['x_left'], y_mid) elif row['side'] == 'right': return (row['x_right'], y_mid) else: # 如果数据里没有 side，就按货格中心横向偏移半个货格宽度 grid_width = row['x_right'] - row['x_left'] return (row['x_left'] + grid_width / 2, y_mid)

逻辑说明：竖直方向取中点，是因为货格在竖直方向上也有长度，取中点能代表“走到这个货格面前”的典型位置；水平方向按所在侧取边缘，是因为拣货员是从过道一侧伸手取货，不能从货格内部穿过。参数说明：side 字段在附件中通常能通过货格所属货架的方位判断；如果数据里没给，就需要拿货格中心坐标去和货架边界做碰撞判断，确认它属于左侧还是右侧，再返回对应边中点。

2.2 货格间距的四种公式与复核台距离的取法

论文的核心贡献之一是把“货格到货格”和“货格到复核台”的距离分成了四种情况，而不是统一套一条曼哈顿公式。我复现时把这四种情况整理成了一张判断表，按表写函数，很少再错。

写代码的时候，最稳的方式是先判断两货格是否在同一排、是否在同一货架。如果同一货架，直接走不绕分支；如果不同货架但横坐标有重叠且中间隔着货架，那理论上应该绕行。不过在实际仓库布局里，“同一排”指的是共享同一条过道方向的那排货架，判断依据是货架的 y 向范围有交集但货架编号不同。

def grid_to_grid_distance(p1, p2, shelf_top, shelf_bottom, bias=750): # 先算纯曼哈顿距离 manhattan = abs(p1[0] - p2[0]) + abs(p1[1] - p2[1]) # 如果两点属于同一货架（y向范围一致且x范围相邻），不需要绕行 if p1[0] == p2[0]: return manhattan # 如果两点分属上下两排货架，也不需要绕行，直接曼哈顿 if (p1[1] - p2[1]) > (shelf_top - shelf_bottom): return manhattan # 需要绕行：计算从上方绕和从下方绕的距离，取最小值 go_top = abs(p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - shelf_top) + (p2[1] - shelf_top) + 2 * bias go_bottom = abs(p1[0] - p2[0]) + (shelf_bottom - p1[1]) + (shelf_bottom - p2[1]) + 2 * bias return min(go_top, go_bottom)

逻辑说明：这个函数是简化的示意版本，实际仓库中还需要判断两货格之间的货架遮挡关系。论文里给出的关键判定是：若两货格不位于同一货架或竖直过道两侧，同时又位于同一排货架，那就要绕货架。参数说明：shelf_top 和 shelf_bottom 是货格所属货架的顶部和底部坐标，bias 是偏移值。注意在绕行距离里有两个 bias，对应绕过货架时在两端各多走的一段横向距离。

2.3 用 3013 个元素时常见误区

我在第一次复现时，把所有货格和复核台都当成普通点，直接用曼哈顿公式，结果 T0001 的最短路线算出来只有 340 米，和论文的 388.3 米差了近 50 米。后来逐点打印距离才发现，问题出在没有区分“是否绕过货架”。另一个高频误区是复核台距离：复核台不是一个点，它有长宽，论文要求取复核台最近一条边的中点到货格的距离。有人图省事直接用复核台中心坐标，这会让你在计算第一批任务分配时错选任务单。所以开始时就要按论文的坐标映射规范建一个全局距离函数，并且用附件里任意两三个已知点手动核对，别等跑完退火再回头查。

3. 模拟退火跑 T0001：三种扰动、Metropolis 与温度衰减

3.1 为什么选模拟退火而不是贪心

T0001 任务单涉及八个货格，加上起点复核台 FH10 和终点某个复核台，一共十个要经过的位置。站点不多，但即使十个点的排列也有 10! 种可能，穷举在更大规模的 49 个任务单场景里完全不现实。贪心算法虽然快，但容易陷在某个局部最短路线里出不来。模拟退火的价值在于它在搜索早期会以一定概率接受“更差”的路线，从而跳出局部最小值，后期再逐步收敛到较优解。

目标函数的设计也很关键。论文把目标函数设为环绕路线总长度的倒数，也就是总距离越短，函数值越大。这样在模拟退火的框架下，新解比旧解更优时直接接受，新解更差时则按 Metropolis 准则概率性接受。

def objective(route, dist_matrix): # route 是由货格和复核台编号组成的有序列表 total = 0 for i in range(len(route) - 1): total += dist_matrix[route[i]][route[i + 1]] # 返回总距离的倒数，让模拟退火最大化这个值 return 1.0 / total

逻辑说明：目标函数使用距离倒数，是因为模拟退火通常处理最大化问题更自然，本质上和最小化总距离等价。参数说明：dist_matrix 需要在进入退火前用第 2 章的距离函数预计算好，避免在迭代里重复计算几千次两点距离，否则速度会慢到无法接受。

3.2 互换、倒位、易位三种扰动与参数配置

新解的产生是模拟退火的灵魂。论文里用了三种方式，每次迭代随机抽取一种：

• 互换法：随机交换路线中两个站点的位置。
• 倒位法：把路线中某一段子序列整体反转。
• 易位法：把路线中某一段子序列移动到另一个位置。

三种扰动混合使用是为了让解空间搜索更充分。互换法改变局部，倒位法能翻转大块路径，易位法则会把一段路线搬运到新位置。如果只用一种，很容易让搜索陷入某种固定模式。

import random def generate_new_solution(route): method = random.choice(['swap', 'invert', 'insert']) r = route.copy() n = len(r) if method == 'swap': i, j = random.sample(range(n), 2) r[i], r[j] = r[j], r[i] elif method == 'invert': i, j = sorted(random.sample(range(n), 2)) r[i:j + 1] = reversed(r[i:j + 1]) elif method == 'insert': i, j = sorted(random.sample(range(n), 2)) seg = r[i:j + 1] del r[i:j + 1] k = random.randint(0, len(r) - 1) r[k:k] = seg return r

逻辑说明：新解生成函数返回改动后的路线，原路线不动，方便后面做 Metropolis 判断时保留旧解。参数说明：n 是路线长度，对 T0001 是 10；random.choice 保证三种扰动等概率出现。实测中，如果初期收敛太慢，可以把互换法的概率调高到 0.5，倒位和易位各 0.25；如果后期震荡厉害，就反过来。

温度控制和迭代次数直接决定结果稳定性。论文给出初始温度 T=100，通过衰减函数逐步降温，外层迭代 500 次，每个温度下内层搜索 1000 次。常见的衰减函数是指数衰减 T = T * alpha，alpha 取 0.95 左右。

def simulated_annealing(route, dist_matrix, T=100, alpha=0.95, outer=500, inner=1000): current = route.copy() best = current.copy() best_len = 1.0 / objective(current, dist_matrix) for t in range(outer): for k in range(inner): new_route = generate_new_solution(current) new_len = 1.0 / objective(new_route, dist_matrix) delta = 1.0 / new_len - 1.0 / best_len # Metropolis 准则 if new_len < best_len or random.random() < math.exp(-(new_len - best_len) / T): # 注意这里的目标函数是倒数，实际比较的是距离 pass T *= alpha return best, best_len

逻辑说明：上面这段只展示了框架，真正的 Metropolis 判断要基于目标函数值的差。由于目标函数是距离倒数，比较时需要统一换算回距离。更简单的做法是让目标函数直接返回负距离，最大化负距离等价于最小化距离。参数说明：alpha 越大，降温越慢，搜索越充分但耗时越长；alpha 小于 0.9 时容易快速收敛到局部最优。外层 500 次、内层 1000 次总共 50 万次迭代，在十个点的规模下用不了几秒，完全可以跑完后再看收敛曲线。

3.3 T0001 最短出库 732.867 秒的构成

论文算出 T0001 的最短路线总距离为 388.3 米，拣货员行走速度是 1.5 米/秒，所以行走时间是 258.867 秒。下架时间需要按货格逐格统计：任务单 T0001 一共 39 件商品，其中有 6 个货格的商品数量等于 3 件，其余货格都小于 3 件，按照“单货格商品数小于 3 件每件 5 秒，否则每件 4 秒”的规则，下架时间合计 174 秒。T0001 包含 10 个订单，每个订单复核打包 30 秒，共 300 秒。三项相加，258.867 + 174 + 300 = 732.867 秒。

建议复现时把这三个时间分开算，别图省事直接用 732.867 反推。我见过有人把下架规则理解成“每件商品统一 4 秒”，结果算出来少了几十秒，后面整条时间都对不上。正确做法是把任务单里的每个货格商品数单独取出来，判断阈值是“小于 3 件用 5 秒，等于或大于 3 件用 4 秒”，再逐格求和。

4. 从 1P 到 9P4FH：贪心分层与复核台利用率

4.1 问题三的 3840 种组合遍历思路

问题三的场景是一个人、两个复核台（FH03 和 FH11）、五份任务单。核心是确定任务单领取顺序和每个任务单交付到哪个复核台。五份任务单的领取顺序有 A55 = 120 种，每个任务单的交付复核台有 2 种选择，所以复核台分配组合是 2^5 = 32 种，总共 120 × 32 = 3840 种方式。

这 3840 种不能直接对每种都重新跑一遍模拟退火，那样计算量会爆炸。常见的做法是：先对每个任务单，用第二问的模拟退火分别求出“从领取复核台到交付复核台”的最短路线距离，并缓存成 5 × 4 矩阵（5 个任务单、4 种起终点组合）。然后遍历 3840 种顺序和交付组合时，直接查矩阵汇总距离，再叠加下架时间和最后一个任务单的打包复核时间。

# 遍历 3840 种组合的伪代码 import itertools tasks = ['T0002', 'T0003', 'T0004', 'T0005', 'T0006'] fhs = ['FH03', 'FH11'] best_time = float('inf') for order in itertools.permutations(tasks): for fh_choice in itertools.product([0, 1], repeat=len(tasks)): total_walk = 0 for idx, task in enumerate(order): start_fh = fhs[fh_choice[idx - 1]] if idx > 0 else 'FH03' end_fh = fhs[fh_choice[idx]] total_walk += cached_walk_time[task][start_fh][end_fh] total_time = total_walk + fixed_pick_time + check_time if total_time < best_time: best_time = total_time

逻辑说明：这里把“任务单的领取复核台”和“上一个任务单的交付复核台”做了联系，因为拣货员交付完一个任务单后，会就近领取下一个任务单，而不是回到原来的位置。参数说明：cached_walk_time 里还应该包含每个任务单的下架时间，因为下架时间只和任务单有关，和路线无关，可以提前算好。最终论文得到的最短出库时间是 4070.333 秒，你可以用这个数校验自己的遍历逻辑。

4.2 四十九个任务单的三阶段贪心分配

问题四是九名拣货员、四个复核台（FH01、FH03、FH10、FH12）、四十九份任务单。直接全局搜索不可能，论文的策略是把拣货过程切成三个阶段。第一阶段只考虑行走时间：从 49 个任务单里挑出 9 个，分给 9 名拣货员，让第一批的行走和下架时间之和最短，同时保证每个复核台收到 2-3 个任务单。第二阶段用贪心：把剩余 40 个任务单按复核时间排序，每往复核台分配一个，就让四个复核台的累计运行时间方差尽量小。第三阶段是收尾，保证最后一批任务单几乎同时处理完。

第一阶段的实现很讲究。论文先构造了一个 49 × 16 的矩阵，其中每个元素是某个任务单从指定领取复核台到指定交付复核台所需的行走时间与下架时间之和。16 是因为四个复核台之间的起终点组合有 4×4=16 种。拿到这个矩阵后，按交付复核台分类，对每个复核台的任务单按时间升序排序，再做“去重”操作——同一个任务单只保留时间最短的那个交付复核台组合，然后依次取时间最短的任务单，直到凑够 9 个。

import pandas as pd # 假设 matrix 是 DataFrame，行是任务单，列是 16 种复核台组合，值是行走+下架时间 def select_first_batch(matrix, fh_list, n_pickers=9): candidates = [] for fh in fh_list: # 取出交付到该复核台的列 cols = [c for c in matrix.columns if c.endswith(fh)] sub = matrix[cols].min(axis=1).sort_values() for task_id in sub.index: if task_id not in [c[0] for c in candidates]: candidates.append((task_id, sub[task_id], fh)) if len([c for c in candidates if c[2] == fh]) >= 3: break # 按时间排序取前9个 candidates.sort(key=lambda x: x[1]) return candidates[:n_pickers]

逻辑说明：去重是防止同一个任务单同时被两个复核台选中。限制每个复核台最多 3 个任务单，是为了让后阶段负荷均衡。参数说明：n_pickers 是 9，fh_list 是四个复核台。实际运行时，还要检查选出的 9 个任务单是否满足“每个复核台 2-3 单”的约束，不满足就微调。

第二阶段贪心分配的核心是“每次分配后所有复核台累计复核时间的方差最小”。你把剩余任务单按复核时间从大到小排序，每次取出当前复核时间最长的任务单，分配给当前累计复核时间最短的复核台，这就是最小化方差的一种贪心近似。论文里阶段二结束时四个复核台利用率非常接近，第二阶段利用率都接近 100%，加上第一阶段行走时间，最终总出库时间是 5540.87 秒，四个复核台总利用率分别为 93.17%、92.85%、92.4%、93.13%。

4.3 复核台利用率与出库时间的关系

利用率不是越高越好，而是越接近越好。四个复核台利用率都在 93% 左右，方差很小，说明任务分配没有让某个复核台早早结束而干等。出库时间等于最后一个复核台结束运行的时间，也就是瓶颈复核台决定了总时间。所以在贪心分配时，不要只追求单个复核台最高利用率，要让所有复核台尽量同时结束。

复现时可以专门写一个函数，在每轮分配后计算四个复核台累计时间方差，并打印出来看趋势。如果方差先降后升，说明贪心策略在某一步出现了失衡，需要检查是否有个别任务单复核时间特别长，它是“硬骨头”，应该更早分配而不是最后。

5. 避坑：距离公式、模拟退火参数与阶段分配的 5 个常见问题

5.1 距离计算出现“穿墙路线”，总距离偏短

现象：跑完模拟退火后得到的最短路线图，会产生从货架中间穿过的路径，和实际仓库平面图对不上，总距离明显偏小，T0001 一算只有 340 米左右。

原因：没有执行“是否绕货架”的分类判断，直接把任意两点的横纵坐标差值相加，默认了货架区域可以横穿，这在仓库场景里不可能。货格间距公式里缺失了水平和竖直偏移值。

解决：严格按照论文 2.2 节的分类条件写距离函数。先判断两货格是否同一排、是否同一货架、中间是否隔着货架。只要需要绕行，就分成“从上方绕”和“从下方绕”，取两个绕行距离的较小值。写完后用两位坐标已知的货格手算一组距离做单测，确认结果和论文公式一致再往下走。

5.2 模拟退火每次结果不同，同一路线距离忽高忽低

现象：连续跑三次模拟退火，得到的最短路线各不相同，差一两百米。

原因：扰动函数随机，且 Metropolis 准则本身就会接受一部分差解，导致结果有波动。另外初始温度或外层迭代次数不足，搜索不充分，每次落到的局部最优都不同。

解决：固定随机种子，让结果可复现；如果固定种子后还波动，就把外层迭代从 500 提高到 1000，衰减系数从 0.95 调到 0.98。还不行就改为“多起点退火”：随机生成五个不同初始路线，分别跑完后取最优。血的教训：别在没固定随机种子时拿两个结果对比，那不是算法进步，是随机噪声。

5.3 温度衰减太快，T0001 直接收敛到局部最优

现象：T0001 跑完，总距离停在 410 米，怎么调参数也到不了论文的 388.3 米。

原因：初始温度不够高，或者衰减系数小于 0.9，导致前期根本没机会接受差解，搜索范围被限制在初始解附近。模拟退火最怕就是一开始就降温，等于没有退火，和贪心没有区别。

解决：初始温度至少 100，衰减系数 0.95 起步。如果距离还是差，可以把初始温度调到 200，内层循环从 1000 加到 2000。判断标准是看接受率：前期差解接受率应当在 40%-60%，如果低于 20% 就说明温度太低。

5.4 问题三遍历 3840 种组合时，重复调用退火导致超时

现象：按 3840 种组合逐组跑模拟退火，跑了十几分钟还没出结果。

原因：每种组合都要重新计算五个任务单的路线，而退火本身需要几十万次迭代，两者相乘计算量巨大。

解决：先离线算好每个任务单在 16 种起终点组合下的最短路线，缓存成查询表。遍历组合时只是查表求和，不再调用退火。这属于“打表加速”，是这种多阶段问题里的标准做法。切换组合只需要查 5 次表，计算量从百万级降到个位数。

5.5 贪心分配第二阶段时，某复核台明显被拖慢

现象：分配任务单后，四个复核台里有一个累计复核时间明显比其他台多出 300 秒以上，总出库时间被拉长。

原因：只按复核时间排序贪心，忽略了该任务单的行走和下架时间。遇到一些行走距离极远或者商品数量很多的任务单，复核台在等拣货员，空闲时间变大。

解决：在第二阶段分配前，先比较“打包复核时间”和“行走+下架时间”。只有当复核时间大于行走下架时间时，才能忽略行走只按复核时间分配；否则就需要在贪心时叠加一个行走时间的惩罚项。论文在 49×16 矩阵分析中已经验证过平均复核时间大于平均行走下架时间，所以可以安全忽略，但如果你换数据源或换任务单组合，必须重新做这个验证。

6. 落地技巧：把论文里的模型变成可复现的脚本

如果你想把这份论文的思路落到自己的项目里，我的建议是严格按“距离函数 → 单任务退火 → 多任务分配”三段式推进，每段都留一个验证点。

第一步，写距离函数时不要只写一个函数，要把“货格-货格”“复核台-货格”分文件或用装饰器拆开。先算十个点的两两距离，打印成矩阵，用其中任意两点做手工验算。第二步，实现模拟退火时，把目标函数、扰动函数、接受准则分开，固定随机种子，先跑 T0001 校验 388.3 米和 732.867 秒这两个锚点。如果对不上，优先怀疑距离函数，别去调退火参数。第三步，多任务分配前，先构造 49×16 矩阵并缓存，用 pandas 存成 CSV，分配脚本直接读取，这样不会每次跑都重新算距离矩阵。

我自己的一个习惯是，在退火里维护一个“历史最优解集合”，每次 Metropolis 接受了差解，就把当前最优解放进去，等外层循环结束后，再从集合里取最优。这能防止温度后期震荡时把真正的最优解弄丢。另外，画路线图时用散点把货架轮廓画出来，路线重叠在图上，能一眼看出有没有穿墙。

我曾经因为漏了仓库底部复核台的距离分支，导致问题四第一阶段选出的 9 个任务单里有两个复核台分配失衡，总出库时间比论文多了 400 秒。后来逐轮打印复核台累计时间，才发现是底部复核台距离公式少了 750mm 偏移。从那以后，我每次复现路径优化项目都会强制走一遍这套流程：先验距离、再验单点、最后验分配，任何一步对不上就停下来查，绝不带着疑问进下一步建议你也这样。希望这篇拆解能帮你在建模路上少踩几个坑。

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