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GNSS 高级篇

7 PVT 解算

7.1 PVT 解算原理阐释

PVT 是 Position（位置）、Velocity（速度）、Time（时间）的缩写——这是 GNSS 接收机最终要输出的三个结果。前面所有的捕获、跟踪，都是为了得到伪距和载波相位；而 PVT 解算，就是把这些测量值变成用户真正关心的经纬度、速度和时间。

在正式开始前，请大家思考几个问题：

1，为什么定位至少需要 4 颗卫星？3 颗不行吗？多一颗卫星到底多了什么信息？

2，伪距里包含了接收机钟差，这个钟差是怎么"顺便"解出来的？

3，定位误差到底来自哪里？为什么开阔地能到 3 米，城市里却可能偏几十米？

4，什么是 GDOP？为什么卫星的几何分布会影响定位精度？

接下来我们从最基本的原理出发，把 PVT 解算讲透。

7.1.1 定位的基本原理：距离交会

GNSS 定位的基本原理很简单——距离交会（Trilateration）。

a. 二维情况：3 个圆的交点

想象一下，你在一个平面上，知道自己离 A 点 10 公里，离 B 点 8 公里，离 C 点 12 公里。

• 以 A 为圆心、10 公里为半径画一个圆
• 以 B 为圆心、8 公里为半径画一个圆
• 两个圆交于两点——你在其中一个点上
• 再以 C 为圆心、12 公里画圆，三个圆的共同交点就是你的位置

二维定位需要 3 个距离（3 颗卫星）。

b. 三维情况：4 个球的交点

三维空间中，每个距离对应一个球面。

• 1 个球：你在球面上（无数可能）
• 2 个球：交线是一个圆（无数可能）
• 3 个球：交于两个点（通常一个在地面，一个在太空，可以排除太空的那个）
• 4 个球：唯一交点

理论上三维定位需要 3 颗卫星（排除不合理的解），但实际上需要 4 颗——因为还有钟差这个未知数。

7.1.2 为什么需要 4 颗卫星：钟差的引入

a. 伪距方程

每颗卫星的伪距可以写成：
ρ_i = r_i + c×(b_u - b_sv,i) + I_i + T_i + ε_i

其中：

• ρ_i：第 i 颗卫星的伪距（测量值）
• r_i：第 i 颗卫星到用户的真实距离（未知，跟用户位置有关）
• c：光速
• b_u：接收机钟差（未知）
• b_sv,i：第 i 颗卫星的钟差（已知，从星历获取）
• I_i：电离层延迟（可以建模或双频修正）
• T_i：对流层延迟（可以建模修正）
• ε_i：测量噪声

用户位置是三维的（x, y, z），加上钟差 b_u，一共 4 个未知数。
所以需要 4 个方程（4 颗卫星）才能解出 4 个未知数。

b. 钟差有多大？

接收机用的是普通晶振，频率偏差可能有 1~10ppm——对应时间偏差可能达到几毫秒到几十毫秒。
1 毫秒的钟差 × 光速 = 300 公里的距离误差！
所以钟差绝对不能忽略——必须作为未知数解算出来。

这就是为什么 GNSS 定位叫"伪距定位"——测的不是真实距离，而是包含钟差的"伪"距离。
解算时，钟差和位置一起解出来——这叫"时间传递"，GNSS 同时提供定位和授时服务。

7.1.3 最小二乘解算

有了 4 个以上的伪距方程，怎么解出位置和钟差？

a. 线性化

伪距方程是非线性的（距离里有平方根），不能直接解。
标准做法是：先猜一个初始位置（比如地球中心，或上次解算的位置），然后在初始位置附近把方程线性化。

线性化后的方程写成矩阵形式：
Δρ = G × Δx

其中：

• Δρ：伪距残差向量（测量伪距 - 初始位置计算的伪距）
• G：观测矩阵（几何矩阵），每一行是一颗卫星的方向余弦
• Δx：位置和钟差的修正量（Δx, Δy, Δz, Δb）

b. 最小二乘解

如果卫星数 > 4，方程数 > 未知数，是超定方程组，用最小二乘求解：
Δx = (G^T × G)^(-1) × G^T × Δρ

然后用 Δx 修正初始位置，再迭代——因为线性化是近似的，需要迭代几次才能收敛。
通常迭代 3~5 次就收敛了。

c. 加权最小二乘

不同卫星的伪距质量不一样（载噪比不同、仰角不同、多径不同），应该给高质量的卫星更大的权重。
加权最小二乘：
Δx = (G^T × W × G)^(-1) × G^T × W × Δρ

其中 W 是权重矩阵——通常是对角矩阵，每个元素是对应卫星伪距方差的倒数。

7.1.4 GDOP：几何精度因子

定位精度不仅跟伪距测量精度有关，还跟卫星的几何分布有关——这就是 GDOP。

a. GDOP 的含义

GDOP（Geometric Dilution of Precision，几何精度因子）衡量的是"卫星几何分布对定位精度的放大程度"。

GDOP = σ_PVT / σ_ρ

其中 σ_PVT 是 PVT 解的总误差，σ_ρ 是伪距测量误差。
GDOP 越大，同样的伪距误差导致的定位误差越大。

b. DOP 的分解

GDOP 可以分解为：

• PDOP（位置 DOP）：三维位置误差的放大
• HDOP（水平 DOP）：水平位置误差的放大
• VDOP（垂直 DOP）：垂直位置误差的放大
• TDOP（时间 DOP）：时间误差的放大

关系：GDOP² = PDOP² + TDOP² = HDOP² + VDOP² + TDOP²

c. 什么样的几何分布好？

• 卫星分布在天空的各个方向（仰角有高有低，方位角均匀）→ DOP 小，精度高
• 卫星都挤在一个方向 → DOP 大，精度差
• 卫星都在天顶 → 水平精度差（HDOP 大）
• 卫星都在地平线附近 → 垂直精度差（VDOP 大）

典型 DOP 值：

• GDOP < 2：优秀
• GDOP 2~4：良好
• GDOP 4~6：一般
• GDOP > 6：较差

多系统融合最大的好处之一就是 DOP 大幅降低——单 GPS 在城市里可能 HDOP > 4，四系统联合可以降到 1.5 以下。

7.1.5 定位误差来源分析

GNSS 定位误差来自多个方面，我们可以用"误差预算"来分析。

a. 单频 vs 双频

单频接收机用电离层模型（Klobuchar 模型）修正电离层，残差约 2~5m。
双频接收机用两个频点的观测值直接计算电离层延迟，残差 < 0.5m。
这就是双频定位比单频准的主要原因——电离层延迟是 GNSS 最大的误差源之一。

b. 为什么垂直精度比水平差？

通常 VDOP 是 HDOP 的 1.5~2 倍——因为卫星都在"上面"（用户上方的半球），垂直方向的几何约束弱。
水平方向有来自各个方位的卫星，约束强；垂直方向只有仰角信息，约束弱。
所以 GNSS 的水平精度通常是垂直精度的 1.5~2 倍。

7.1.6 速度解算

位置解出来了，速度怎么来？

a. 多普勒法

最常用的方法是用多普勒频移解算速度：

• 卫星和用户的相对运动导致载波频率偏移（多普勒）
• 多普勒跟相对速度成正比
• 跟伪距定位类似，用 4 颗以上卫星的多普勒观测值，可以解出用户的三维速度和钟漂

多普勒法的优点：

• 速度精度高（0.01~0.1m/s）
• 不受多径影响（多径主要影响码相位，对载波频率影响小）
• 实时性好

b. 位置差分法

另一种方法是位置差分：v = (位置_t - 位置_{t-1}) / Δt
简单但精度差——位置误差会被差分放大，尤其是短时间间隔。
通常只在没有多普勒观测值时用。

7.1.7 时间解算（授时）

GNSS 不仅能定位，还能授时——这是 GNSS 的另一大应用。

a. 授时原理

如果用户位置已知（或固定），那么未知数就只剩钟差了——1 颗卫星就能解出钟差。
用多颗卫星可以提高授时精度。

授时精度：

• 普通消费级接收机：10~100ns
• 专业授时接收机：1~10ns
• 高端授时接收机（OCXO+多频）：< 1ns

b. 授时的应用

• 电力系统：电网同步、故障录波
• 通信系统：基站同步（4G/5G 要求 ±1.5μs 以内）
• 金融系统：交易时间戳
• 交通系统：列车调度、航空管制

小结一下：

PVT 解算的本质是"距离交会 + 钟差解算"——4 颗卫星解出三维位置和接收机钟差。
最小二乘（或加权最小二乘）是标准解法，通过迭代线性化来处理非线性方程。
定位精度由两方面决定：伪距测量精度（误差源）和卫星几何分布（GDOP）。
双频的核心优势是消除电离层延迟——这是最大的误差源之一。
速度用多普勒解算，授时用位置已知条件下的钟差解算——GNSS 同时提供位置、速度、时间三位一体的服务。

下一节，我们讲 PVT 解算的算法实现——从最小二乘到卡尔曼滤波，从选星策略到完好性监测，看看工程上是怎么把 PVT 做到又快又准又稳的。