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arcsinx、arccosx、arctanx 这三张图，画错的人远比想象中多。有人把 arcsinx 画成一条周期波浪，有人把 arctanx 的渐近线定在 y=±1，还有人把 arccosx 的单调性整个画反。问题通常不在记性，而在没弄清反三角函数图像到底是从哪来的。这篇就把三张图的骨架拆开讲：为什么值域是那个区间、端点为什么那么陡、渐近线为什么是 π/2 而不是别的数，以及考场上常见的题目会从哪几个角度下手。不管你是刚接触反三角函数，还是复习时总觉得图像和性质对不上号，按下面的顺序走一遍，三张图基本能默画出来，考点也能顺带串起来。

1. 先搞懂“反”的到底是什么：图像骨架的底层逻辑

1.1 反函数图像为什么关于 y=x 对称

反三角函数图像的根，在“反函数”三个字上。原函数 y=sinx 在整个实数轴上不是单调的，一个 y 值对应无穷多个 x，直接反过来会得到一对多，不成函数。所以要人为切出一段单调区间，让每一段里的 x 和 y 一一对应。sinx 切 [-π/2, π/2]，cosx 切 [0, π]，tanx 切 (-π/2, π/2)，切完之后把图像沿直线 y=x 翻折，就得到反三角函数的图像。

这个“翻折”操作决定了很多性质。原函数过 (0,0)，翻过来反函数也过 (0,0)；原函数在 [-π/2, π/2] 上从 -1 升到 1，翻过来 arcsinx 就在 [-1,1] 上从 -π/2 升到 π/2；原函数在 x=π/2 处切线斜率为 0，翻过来 arcsinx 在 x=1 处切线斜率就变成无穷大，表现为竖直切线。很多人画 arcsinx 时把两端画成水平，就是忘了这条“斜率互为倒数”的规则。

提示：翻折前后，水平的东西变竖直，竖直的东西变水平。原函数图像上切线水平的位置，反函数对应位置一定是竖直切线。这条规律对三个反三角函数都成立。

理解了翻折，就不会再把 y=sinx 的整条波浪翻过去。那种画法在草稿纸上看似“对称”，实际上得到的是多值曲线，根本不是函数图像。真正要翻的只有主值区间那一段，长度是 π，形状像一段被压扁的 S。

1.2 主值区间是所有图像的“模具”

主值区间不是随便选的，它要满足三个条件：包含 0 或某个方便的点、单调、值域刚好覆盖反函数的定义域。sinx 选 [-π/2, π/2]，因为这段单调递增且值域恰好是 [-1,1]；cosx 选 [0, π]，因为这段单调递减且值域也是 [-1,1]；tanx 选 (-π/2, π/2)，因为这段单调递增且值域是全体实数。

三个区间选得不一样，直接导致三张图的形状不一样。arcsinx 在 x=0 附近斜率是 1，两端翘起来；arccosx 在 x=0 附近斜率是 -1，整条曲线一路下滑；arctanx 在 x=0 附近斜率是 1，但两端被两条水平线夹住，永远出不去。这些差异全部来自“模具”的形状，不是死记硬背的结果。

值域的端点开闭也要跟着“模具”走。tanx 在 ±π/2 处没有定义，所以 arctanx 的值域是开区间 (-π/2, π/2)，图像无限接近这两条水平线但永远碰不到。sinx 和 cosx 在端点处有定义，所以 arcsinx 的值域是闭区间 [-π/2, π/2]，arccosx 是 [0, π]。考试里“值域写成开区间还是闭区间”这种细节，扣分往往就扣在这里。

1.3 三兄弟一眼辨清：核心参数对照表

把三张图放在一起看，差异会更清楚。下面这张表建议直接抄在笔记本第一页，画图前扫一眼，比翻书快。

这张表里最容易被忽略的是“拐点”和“凸凹变化”。arcsinx 和 arctanx 的拐点都在原点，但一个在原点由凸转凹，另一个也是由凸转凹；arccosx 的拐点在 (0, π/2)，因为整条曲线是 arcsinx 上下翻转再平移得到的。记住拐点位置，画图时曲线的“弯向”就不会画反。

还有一个隐藏关系值得单独拎出来：arcsinx + arccosx = π/2 对定义域内任意 x 成立。这意味着两张图在同一个 x 处的函数值之和恒为 π/2，几何上就是它们关于水平线 y=π/4 对称。画完 arcsinx 之后，把每个点沿 y=π/4 翻折，直接得到 arccosx。这个技巧比重新描点快得多，也不容易把单调性画反。

2. 手绘三张图：从五点描点到渐近线

2.1 arcsinx：S 形曲线的五个定位点

arcsinx 的图像是一条从 (-1, -π/2) 升到 (1, π/2) 的 S 形曲线。手绘时不用描太多点，抓住五个定位点就够：(-1, -π/2)、(-√2/2, -π/4)、(0, 0)、(√2/2, π/4)、(1, π/2)。这五个点覆盖了端点、中点和两个四分之一点，连起来形状基本不会跑偏。

如果想画得更准，可以再加四个辅助点：(-√3/2, -π/3)、(-1/2, -π/6)、(1/2, π/6)、(√3/2, π/3)。这九个点对应的函数值都是特殊角，计算时不用查表。把它们列成表格，纵坐标按 π/6、π/4、π/3 的次序排开，会发现一个规律：x 从 -1 到 1 变化时，y 的增长先慢后快再慢，中间 x=0 附近最平缓，两端最陡。

画图时的关键动作有三个。第一，先标出 y=±π/2 两条水平虚线，把曲线的上下界框住，避免画过头。第二，x=±1 处的切线必须画成竖直方向，不能画成水平或斜的，因为导数在端点趋于无穷。第三，曲线关于原点对称，画完右半边可以直接翻折出左半边，比两边分别描点更稳。

注意：arcsinx 在 x=±1 处的竖直切线是“单侧”的，曲线只在定义域内存在，不要越过 x=±1 继续画。很多人习惯性地把曲线延伸到定义域外，这是画图时最常见的越界错误。

实际画的时候，我习惯把 x 轴和 y 轴的单位长度设成不一样。x 轴一格代表 1，y 轴一格代表 π/6≈0.524，这样整张图的高度大约是宽度的 3 倍，看起来比较舒展。代价是“关于 y=x 对称”这个关系在图上不再直观，所以用翻折法画图时，最好改用“关于 y=π/4 对称”的水平翻折，不受比例影响。

2.2 arccosx：一条水平镜像加平移就够

arccosx 的图像从 (-1, π) 一路下滑到 (1, 0)，形状像把 arcsinx 上下翻转后再上移 π/2。具体操作：先画出 arcsinx，把它关于 x 轴翻折得到 -arcsinx，再整体向上平移 π/2，就得到 arccosx。因为 arccosx = π/2 - arcsinx，这个代数关系对应的正是“翻折加平移”的几何操作。

不想做两次变换的话，还有更快的办法：直接把 arcsinx 上的每个点沿水平线 y=π/4 翻折。因为两个函数在同一 x 处的函数值之和是 π/2，中点恒在 y=π/4 上。翻折之后，原来在 x=0 处的点 (0,0) 变到 (0, π/2)，原来在 x=1 处的点 (1, π/2) 变到 (1, 0)，原来在 x=-1 处的点 (-1, -π/2) 变到 (-1, π)。三个关键点一对，整条曲线的走向就定了。

arccosx 的定位点同样可以用特殊角列出来：(-1, π)、(-√2/2, 3π/4)、(0, π/2)、(√2/2, π/4)、(1, 0)。注意 3π/4 这个值，它等于 π - π/4，是 arccos(-√2/2) 的结果，很多人会误写成 -π/4。这个错误来自把 arccosx 当成了偶函数，实际上 arccos(-x) = π - arccosx，函数值落在 [0, π] 内，不可能是负角。

画 arccosx 时最容易犯的错是把曲线画成“先平后陡”或者“先陡后平”搞反。判断方法很简单：导数 -1/√(1-x²) 的绝对值在 x=0 处最小，等于 1，在两端趋于无穷。所以曲线在中间最平缓，在两端最陡。画的时候先定中间一段接近直线的部分，再让两端急剧下坠，形状就对了。

2.3 arctanx：先画两条渐近线，再谈曲线

arctanx 的图像和前两张图最大的区别，是它有一条“带子”把它夹住。值域是 (-π/2, π/2)，所以图像全部落在 y=-π/2 和 y=π/2 这两条水平线之间，而且当 x 趋向正负无穷时，曲线无限接近这两条线但永远不相交。这两条线就是水平渐近线，画图时必须先画出来。

定位点选这几个：(0, 0)、(1, π/4)、(-1, -π/4)、(√3, π/3)、(√3/3, π/6)。其中 (√3, π/3) 和 (√3/3, π/6) 分别对应 tan(π/3)=√3 和 tan(π/6)=√3/3，用来控制曲线在远处的弯曲程度。把这些点连起来，再加上两条渐近线，整张图就完整了。

arctanx 的图像有三个特征必须画出来。第一，它是奇函数，关于原点对称，画完右半边直接翻折。第二，拐点在原点，x<0 时曲线下凸，x>0 时曲线上凸，也就是说原点左边曲线“向上弯”，右边“向下弯”，整条曲线在原点附近从凹变凸。第三，斜率在原点最大，等于 1，向两端逐渐趋近于 0，所以曲线在远处越来越平，趋近水平但不会真的水平。

注意：arctanx 的渐近线是 y=±π/2，约等于 ±1.571，不是 y=±1。把渐近线画在 ±1 的位置，整张图的比例就全错了，曲线会被压得过于扁平。考试时如果题目给了网格，先数清楚 π/2 大概占几格再动笔。

还有一个细节：arctanx 在 x=±1 处的函数值是 ±π/4，约等于 ±0.785，刚好是渐近线高度的一半。这个“半高”位置很适合用来校准曲线：在 x=1 处曲线高度应该正好是带子高度的一半，画的时候拿这个当参照，不容易画歪。

2.4 一张纸画全三图的顺序与检查动作

如果要在同一张纸上画三条曲线做对比，顺序很重要。我的习惯是先画 arctanx，因为它有两条渐近线做框架，画完之后纸面上已经有了 y=±π/2 的标记；再画 arcsinx，它的上下界正好也是 ±π/2，可以直接复用这两条线；最后用水平翻折画 arccosx，它的上下界是 0 和 π，其中 π 可以用“两条渐近线之间的距离”来定位。

具体步骤可以拆成五步。第一步，画坐标轴，标出 x 轴上的 -1、0、1 和 y 轴上的 -π/2、0、π/2、π。第二步，画两条水平虚线 y=±π/2，作为 arctanx 的渐近线和 arcsinx 的边界。第三步，画 arctanx，从原点出发，向两端延伸逼近虚线，注意拐点和斜率变化。第四步，画 arcsinx，从 (-1, -π/2) 到 (1, π/2)，两端竖直切线。第五步，把 arcsinx 沿 y=π/4 翻折，得到 arccosx，检查它是否从 (-1, π) 降到 (1, 0)。

画完之后做三个检查动作。一看端点：arcsinx 的两个端点是否都在虚线上，arccosx 的左端点是否在 y=π 上，arctanx 是否没有端点。二看单调性：arcsinx 和 arctanx 是否全程上升，arccosx 是否全程下降。三看对称性：arcsinx 和 arctanx 是否关于原点对称，arccosx 是否关于点 (0, π/2) 中心对称。这三个检查做完，图基本不会有大问题。

3. 考点拆解：图像背后藏着哪几类题

3.1 定义域值域：内层函数值域卡死外层

反三角函数类的题目，第一问几乎都是求定义域或值域。核心原则只有一条：内层函数的值域，必须落在反三角函数的定义域里。arcsin 和 arccos 的定义域是 [-1,1]，arctan 的定义域是全体实数，所以前两者需要列不等式，后者一般不需要额外限制。

以 y = arcsin(2x-1) 为例。内层是 2x-1，要求 -1 ≤ 2x-1 ≤ 1，解得 0 ≤ x ≤ 1，定义域是 [0,1]。再求值域：当 x 在 [0,1] 内变化时，2x-1 从 -1 连续变到 1，arcsin 在这段上单调递增，所以值域是 [-π/2, π/2]。这里有个容易忽略的点：值域不是看 x 的范围，而是看内层函数实际取到的值的范围。

再看 y = arcsin(x²)。定义域要求 -1 ≤ x² ≤ 1，即 x² ≤ 1，解得 -1 ≤ x ≤ 1。值域则要看 x² 在 [-1,1] 上的取值范围：x² 从 0 变到 1，所以 arcsin(x²) 的值域是 [0, π/2]，而不是 [-π/2, π/2]。这个差别来自内层函数 x² 非负，取不到负值，所以外层也只能取到非负的那一半。

最后一行是个典型陷阱。arctan(1/x) 中，1/x 取不到 0，所以 arctan 也取不到 0，值域被挖掉了一个点。这种“内层值域有洞，外层值域跟着有洞”的情况，在复合函数里经常出现，做题时养成“先看内层取到什么，再看外层对应取到什么”的习惯，能避开大部分坑。

3.2 比较大小与不等式：用单调性一次定胜负

比较两个反三角函数值的大小，不需要计算具体数值，只看单调性。arcsinx 和 arctanx 单调递增，自变量大的函数值大；arccosx 单调递减，自变量大的函数值反而小。这条规则用熟了，比查表快得多。

同函数比较很直接。比较 arcsin(1/3) 和 arcsin(1/2)，因为 1/3 < 1/2 且 arcsin 递增，所以 arcsin(1/3) < arcsin(1/2)。比较 arccos(-0.3) 和 arccos(0.3)，因为 -0.3 < 0.3 且 arccos 递减，所以 arccos(-0.3) > arccos(0.3)。注意这里的不等号方向，递减函数比较大小最容易翻车。

跨函数比较需要借助恒等式或中间量。比较 arcsinx 和 arccosx，利用 arcsinx + arccosx = π/2，令两者相等解出 x = √2/2。当 x > √2/2 时，arcsinx > π/4 > arccosx；当 x < √2/2 时反过来。这个分界点来自图像的交点，把两张图画在一起，交点位置一目了然。

还有一组常考的不等式：当 0 < x < 1 时，arcsinx > x > arctanx。证明用导数最干脆。设 f(x) = arcsinx - x，f'(x) = 1/√(1-x²) - 1，在 (0,1) 上大于 0，f(0)=0，所以 f(x)>0。设 g(x) = x - arctanx，g'(x) = 1 - 1/(1+x²) = x²/(1+x²) > 0，g(0)=0，所以 g(x)>0。两个不等式合起来就是 arcsinx > x > arctanx。从图像上看，arcsinx 在直线 y=x 上方，arctanx 在直线 y=x 下方，夹在中间。

提示：这组不等式在极限题里也常用。x→0 时 arcsinx 与 x 是等价无穷小，arctanx 与 x 也是等价无穷小，所以 lim arcsinx/x = 1，lim arctanx/x = 1。图像在原点附近与直线 y=x 相切，正是这个等价关系的几何表现。

3.3 奇偶性与对称性：两个恒等式吃透

三个函数里，arcsinx 和 arctanx 是奇函数，arccosx 既不是奇函数也不是偶函数。奇函数的图像关于原点对称，这个性质在画图和化简时都能用。arcsin(-x) = -arcsinx，arctan(-x) = -arctanx，这两个式子直接把负号提到外面，计算时省一半功夫。

arccosx 虽然不奇不偶，但它满足 arccos(-x) = π - arccosx。这个式子的几何含义是：图像关于点 (0, π/2) 中心对称。取图像上一点 (x, arccosx)，对称点是 (-x, π - arccosx)，而 π - arccosx 正好等于 arccos(-x)，所以对称点也在图像上。中心对称和轴对称不一样，中心对称是旋转 180 度重合，轴对称是翻折重合，画图时别搞混。

还有一组恒等式和对称性有关：arctanx + arctan(1/x) = π/2（x>0），arctanx + arctan(1/x) = -π/2（x<0）。这个式子说明，在 x>0 的那一支上，arctanx 和 arctan(1/x) 的图像关于水平线 y=π/4 对称。证明方法很巧：设 α = arctanx，β = arctan(1/x)，则 tanα = x，tanβ = 1/x，两者乘积为 1，而 tan(π/2 - α) = 1/tanα = 1/x = tanβ，配合角的范围就能得到 β = π/2 - α。

这些恒等式不用死记，从图像上推更快。arcsinx 和 arccosx 关于 y=π/4 对称，所以同一 x 处函数值之和是 π/2；arctanx 的右支和 arctan(1/x) 的右支关于 y=π/4 对称，所以和是 π/2。记住对称关系，式子自然就出来了。

3.4 复合与变换：从 arcsinx 到 arcsin(2x-1)

图像变换题考的是“内层变 x，外层变 y”的顺序。以 y = arctan(2x-1) 为例，内层 2x-1 表示先把 x 压缩到原来的一半，再向右平移 1/2；外层没有系数，值域不变，仍然是 (-π/2, π/2)。变换之后，原来的渐近线还是 y=±π/2，因为渐近线由值域决定，横向变换不影响它。

判断变换顺序有个简单办法：看 x 是怎么被操作的。2x-1 可以写成 2(x - 1/2)，先压缩后平移；也可以先平移后压缩，但平移量要跟着变。两种顺序结果一样，但中间的中间步骤不同，画图时选自己顺手的那种。我习惯先处理括号内的加减（平移），再处理系数（压缩），因为平移量直观，压缩容易把位置算错。

复合函数的单调性要看两层。y = arcsin(x²) 在 [0,1] 上，内层 x² 递增，外层 arcsin 递增，复合后递增；在 [-1,0] 上，内层 x² 递减，外层递增，复合后递减。所以整个函数在 [-1,0] 上减、在 [0,1] 上增，x=0 处取最小值 0，x=±1 处取最大值 π/2。这个函数是偶函数，图像关于 y 轴对称，画的时候只画右半边再翻折就行。

注意：复合函数的定义域永远是“内层值域落在外层定义域内”解出来的，不是内层定义域和外层定义域简单取交集。比如 arcsin(lnx)，要求 -1 ≤ lnx ≤ 1，解得 1/e ≤ x ≤ e，而不是 x>0 和 [-1,1] 的交集。

图像变换还有一种考法是“给图求式”。题目给出一条曲线，问它是哪个函数的图像，这时看三个特征：端点位置、单调方向、渐近线。端点能定平移和压缩，单调方向能定外层是 arcsin 还是 arccos，渐近线能定是 arctan 还是别的。三个特征一对，表达式基本就锁定了。

3.5 极限与渐近线：arctanx 最容易被扣分的地方

arctanx 的极限是考试高频点。x 趋向正无穷时 arctanx 趋向 π/2，趋向负无穷时趋向 -π/2，这两个极限对应两条水平渐近线。写答案时要注意，极限存在但不等于函数值，因为 arctanx 永远取不到 ±π/2，所以渐近线和图像没有交点。

涉及 arctanx 的极限题，经常和“无穷减无穷”或“无穷乘零”的型打交道。比如求 lim x(arctanx - π/2)（x 趋向正无穷），直接代入是无穷乘零。令 t = arctanx，则 x = tant，t 趋向 π/2 负方向，原式变成 lim tant·(t - π/2)。再令 u = t - π/2，u 趋向 0 负方向，tant = tan(u + π/2) = -cotu，原式变成 lim (-cotu)·u = -1。这类题的关键是把反三角函数换成三角函数，把不熟悉的极限变成熟悉的。

积分里也常出现反三角函数。∫₀¹ arctanx dx 用分部积分，令 u = arctanx，dv = dx，得到 x·arctanx - ∫ x/(1+x²) dx，后者凑微分得 (1/2)ln(1+x²)，代入上下限得 π/4 - (1/2)ln2。这个结果在图像上的含义是：arctanx 在 [0,1] 上与 x 轴围成的面积，比三角形面积 π/8 大一点，因为曲线在直线 y=(π/4)x 上方。

反三角方程的解集也依赖图像。sinx = a 的解是 x = kπ + (-1)^k·arcsina，这个结构的来源是：sinx 在每个单调区间上都有一个解，主值区间 [-π/2, π/2] 上的解是 arcsina，其他区间上的解通过周期性和对称性推出来。cosx = a 的解是 x = 2kπ ± arccosa，tanx = a 的解是 x = kπ + arctana。记住这三条，解三角方程时先写通解再筛范围，比一个个画单位圆快。

4. 错误实录：那些年踩过的坑

4.1 错误类型速查表

反三角函数这块的错误高度集中，翻来覆去就是那几类。下面这张表按“错误现象—原因—纠正方法”整理，做完题对一遍，能省下不少重复犯错的时间。

这张表里最值得多说一句的是“arcsin(sin2)”。很多人看到 sin 和 arcsin 挨在一起，直接抵消写成 2，这是把反函数当成了“无条件抵消”。实际上 arcsin 的值域限制在 [-π/2, π/2]，2 弧度约等于 114.6 度，超出这个范围，不能直接抵消。正确做法是先算 sin2≈0.909，再算 arcsin(0.909)≈1.141，而 π-2≈1.142，两者一致。所以 arcsin(sin2) = π - 2，这个结果来自诱导公式 sin(π-2)=sin2，且 π-2 落在主值区间内。

4.2 三个典型错题的复盘

第一道题：求 y = arccos(cos(4π/3)) 的值。常见错误是直接写 4π/3，理由是“反函数抵消”。正确做法是先算 cos(4π/3) = -1/2，再算 arccos(-1/2) = 2π/3。为什么不是 4π/3？因为 arccos 的值域是 [0,π]，4π/3 约等于 240 度，不在值域内。从图像上看，arccosx 只取上半圆那一段，4π/3 对应的点落在第三象限，不在图像覆盖的范围内。

第二道题：求 f(x) = arcsin(x²-1) 的定义域和值域。定义域要求 -1 ≤ x²-1 ≤ 1，即 0 ≤ x² ≤ 2，解得 -√2 ≤ x ≤ √2。值域要看 x²-1 的取值范围：x² 在 [0,2] 上变化，x²-1 在 [-1,1] 上变化，arcsin 取遍 [-π/2,π/2]。所以定义域是 [-√2,√2]，值域是 [-π/2,π/2]。这道题的坑在于，很多人只看到 x²-1≥-1 这一边，忘了还有 ≤1 这一边，把定义域写成 R。

第三道题：解不等式 arctan(x-1) < π/4。利用 arctanx 的单调递增性，原不等式等价于 x-1 < tan(π/4) = 1，解得 x < 2。定义域是全体实数，所以解集是 (-∞, 2)。这道题本身不难，但有人会犯两个错：一是把 π/4 当成 tan 的自变量直接比较，写成 x-1 < π/4；二是忘记 arctan 是递增函数，把不等号方向搞反。正确做法是先把 π/4 还原成 arctan1，再脱去外层函数。

提示：脱去反三角函数外壳时，先确认外层函数是增还是减。arcsin 和 arctan 是增函数，脱壳后不等号方向不变；arccos 是减函数，脱壳后不等号方向要翻转。这个细节在解不等式时经常被忽略。

4.3 考场三分钟自查清单

画完图或者做完题，花三分钟按下面的顺序过一遍，能拦下大部分低级错误。第一分钟查定义域：内层函数的值域是否落在外层的定义域内，有没有漏掉一边的不等式。第二分钟查值域：端点是否取得到，开闭区间是否正确，有没有因为内层函数取不到某些值而挖掉点。

第三分钟查图像特征：单调方向对不对，端点切线是竖直还是水平，渐近线位置是不是 ±π/2，奇偶性和对称中心有没有画错。如果是解答题，再检查一遍反三角函数脱壳时不等号方向有没有翻转，特殊角的函数值有没有记混（比如 arccos(-1/2) 是 2π/3 而不是 -π/3）。

这套自查流程看起来琐碎，但用熟了之后三十秒就能过一遍。我自己的经验是，反三角函数这块的失分，八成不是不会做，而是细节没检查。定义域漏一边、值域开闭写错、渐近线数值记混，这些都是检查一遍就能发现的问题，丢分实在可惜。

5. 工具验证与练习路径

5.1 用计算器和画图软件做交叉验证

手绘完之后，用图形计算器或者在线画图工具验证一下，是发现自己错误最快的方式。输入函数时要注意，很多软件用 asin、acos、atan 表示反三角函数，不认 arcsin 这种写法。角度单位要设成弧度，否则图像会整体缩放，看起来完全不对。

视窗设置也有讲究。看 arcsinx 和 arccosx，x 范围设成 [-2,2]、y 范围设成 [-2,4] 比较合适，能同时看到两张图的端点和交点。看 arctanx，x 范围可以设成 [-10,10]，y 范围设成 [-2,2]，这样能看清两端趋近渐近线的趋势。如果把 x 范围设得太窄，比如 [-2,2]，arctanx 看起来像一条直线，渐近线的特征就看不出来了。

叠图对比是更直观的办法。把自己的手绘图拍照，和软件生成的图叠在一起，看端点位置、拐点位置、渐近线高度是否吻合。弧度和角度的换算也要注意：π/2 约等于 1.571，π/4 约等于 0