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【修订版】本文已整理到我的个人博客，订正了原文的几处错误：N 为奇数时的极点公式有误，双线性变换的推导有两处符号写反，代码里还有未定义行为。CSDN 这一版保留原样，之后的勘误与更新只在博客进行：5.IIR滤波器的间接设计 | Finn's blog

1.模拟滤波器的设计

      1.1巴特沃斯滤波器的次数

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，

这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

       1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）

         

其对应的C语言程序为

N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) / log10 (Stopband/Cotoff) ));

         然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为

typedef struct { double Real_part; double Imag_Part; } COMPLEX; COMPLEX poles[N]; for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++) { if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0) { poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)); poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N)); count++; if (count == N) break; } }

       计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，