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数字滤波器设计方法详解

1. 零极点放置法

在数字滤波器设计中，零极点放置法是一种重要的设计方法。该方法基于零极点在 z 平面上的位置来确定滤波器的频率响应。在 z 平面上，零点会使对应频率点的频率响应为零，而极点则会在对应频率点产生峰值。靠近单位圆的极点会产生较大的峰值，而靠近或位于单位圆上的零点会产生谷值或最小峰值。

对于极点位置的半径 r（r > 0.9）与带宽 bw 之间存在近似关系：
[r \approx 1 - \frac{bw}{Fs}\pi]

下面通过几个具体的例子来详细说明零极点放置法的应用。

例 1：带通数字滤波器设计

要求设计一个带通数字滤波器，满足以下规格：
- 在直流（0 Hz）和 250 Hz 处完全抑制信号。
- 窄通带中心位于 125 Hz。
- 3 - dB 带宽为 10 Hz。
- 采样频率为 500 Hz。

步骤如下：
1.确定零极点位置：
- 由于需要在 0 和 250 Hz 处完全抑制信号，所以零点应放置在单位圆上角度为 (0^{\circ}) 和 (180^{\circ}) 的位置。
- 通带中心位于 125 Hz，因此极点应放置在角度为 (\pm 90^{\circ}) 的位置。为确保系数为实数，需要有一对共轭复数极点。
2.计算极点半径：
根据公式 (r = 1 - \frac{bw}{Fs}\pi)，其中 (bw = 10 Hz)，(Fs =