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加权网络：概念、度量与应用

1. 引言

在许多实际的网络中，节点之间的连接强度存在很大差异。例如，在社交系统中，人与人之间的关系有强有弱；在互联网或交通系统等基础设施网络中，连接的容量也各不相同。加权网络为描述这类复杂系统提供了一种更有效的方式，其中每个连接都与一个数值相关联，该数值代表相应连接的强度。

2. 调整交互

• 加权的必要性：以科研合作网络为例，仅考虑科学家是否共同发表过论文是不够的。那些共同发表多篇论文的科学家之间的关系显然更为紧密。因此，合理的做法是根据合作频率对连接进行加权，共同发表多篇论文的科学家之间的连接权重应大于仅共同发表一篇论文的科学家之间的连接权重。
• 加权科研合作的示例：Mark Newman 引入了一种加权版的合著网络。对于两个合作者 $i$ 和 $j$ 之间的交互权重 $w_{ij}$ 定义为：
  [w_{ij} = \sum_{p} \frac{\delta_{i}^{p} \delta_{j}^{p}}{n_{p}-1}]
  其中，$p$ 遍历所有论文，$\delta_{i}^{p}$ 表示作者 $i$ 是否对论文 $p$ 有贡献（有贡献为 1，否则为 0），$n_{p}$ 是论文 $p$ 的作者数量。
• 加权图的定义：
  • 加权图 $G_{w} \equiv (N, L, W)$ 由节点集合 $N = {n_1, n_2, \ldots, n_N} \neq \varnothing$、连接集合 $L = {l_1, l_2