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题目描述

Martin\texttt{Martin}Martin是一位园丁，他在一个正方形网格上种植了131313棵树。网格的每个单元格都是1×11 \times 11×1平方米，任意两棵树之间的距离（欧几里得距离）总是整数米，并且没有三棵树共线。现在需要你输出这131313棵树的坐标，坐标必须是非负整数且不超过10910^9109。

输入格式

本题没有输入。

输出格式

输出131313行，每行两个整数，表示一棵树的横纵坐标。坐标必须是非负整数且不超过10910^9109，任意两点的距离为整数，且任意三点不共线。

样例

输入

（无）

输出

0 0 0 3 4 0 ...

题目分析

本题的核心是构造一个满足特定性质的平面点集。我们面临两个约束：

1. 整数距离：任意两点之间的欧几里得距离必须为整数。
2. 无三点共线：任意三个点不能位于同一条直线上。

直接搜索或随机生成几乎不可能在有限时间内找到满足条件的131313个点，因为坐标范围巨大（10910^9109）且约束苛刻。因此，必须利用数论中的已知构造。

一个自然的想法是利用勾股数。若我们以原点OOO为圆心，半径为RRR作圆，则圆上所有整数点(x,y)(x,y)(x,y)满足x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2x2+y2=R2。这些点到原点的距离都是整数RRR。若我们能找到多个这样的点，则它们与原点构成一个星形结构，但还需要保证任意两点之间距离也是整数，并且没有三点共线。

更一般地，我们希望构造一个点集{Pi}\{P_i\}{Pi​}，使得任意i,ji,ji,j都有∣PiPj∣∈Z|P_i P_j| \in \mathbb{Z}∣Pi​Pj​∣∈Z。这类点集称为整数距离集（Integral Point Set）。已知存在包含131313个点的整数距离点集，并且可以放置在平面网格上。一个经典的构造方法是使用勾股三元组和复数乘法的性质。

具体地，若复数z=a+biz = a + biz=a+bi满足∣z∣=c|z| = c∣z∣=c（即a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2），则zzz对应的点(a,b)(a,b)(a,b)到原点的距离为整数ccc。若取多个不同的zkz_kzk​满足∣zk∣=c|z_k| = c∣zk​∣=c，则它们都位于以原点为圆心、半径为ccc的圆上。然而，任意两点之间的距离∣zi−zj∣|z_i - z_j|∣zi​−zj​∣不一定为整数。但存在特殊的选择，使得这些距离也为整数。利用复数乘法，若取zk=c⋅eiθkz_k = c \cdot e^{i\theta_k}zk​=c⋅eiθk​，则∣zi−zj∣=c⋅2∣sin⁡θi−θj2∣|z_i - z_j| = c \cdot 2 \left| \sin \frac{\theta_i - \theta_j}{2} \right|∣zi​−zj​∣=c⋅2​sin2θi​−θj​​​。要使该值为整数，需要sin⁡\sinsin为有理数，这可以通过选择特定的有理角度实现。

本题已知有一个解，其构造利用了一个特殊的整数ccc，使得方程x2+y2=c2x^2 + y^2 = c^2x2+y2=c2有足够多的非零整数解，并且这些解恰好构成一个整数距离集。常用的ccc值为110511051105，因为1105=5×13×171105 = 5 \times 13 \times 171105=5×13×17，其平方的表示数（有序对）正好有足够多的组合。枚举所有满足a<ba < ba<b的勾股对(a,b)(a,b)(a,b)，可以得到131313个不同的点(a,b)(a,b)(a,b)，这些点满足任意两点距离为整数（这是已知的数学结论，可直接使用），并且可以验证无三点共线。

解题思路

我们采用固定参数构造法，不依赖输入。

1. 选定斜边长度c=1105c = 1105c=1105。该数的平方c2c^2c2有多个不同的整数分解方式：
   c2=a2+b2,a,b∈Z+, a<b. c^2 = a^2 + b^2, \quad a,b \in \mathbb{Z}^+, \ a < b.c2=a2+b2,a,b∈Z+,a<b.
   枚举所有aaa从111到c−1c-1c−1，计算b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}b=c2−a2​，若bbb为整数且b>ab > ab>a，则(a,b)(a,b)(a,b)是一个勾股对。

2. 将每个勾股对(a,b)(a,b)(a,b)作为坐标点输出。由于a<ba < ba<b，每个解只输出一次，避免了对称重复。

3. 这些点共有131313个（已知计数），它们全部位于第一象限，坐标非负，且最大值不超过c2c^2c2，而c2=11052=1,221,025<109c^2 = 1105^2 = 1,221,025 < 10^9c2=11052=1,221,025<109，满足题目要求。

4. 根据数论已知结果，这131313个点两两之间的距离均为整数，且不存在三点共线（可通过行列式检验，但本题保证成立）。

代码实现

// Martin the Gardener// UVa ID: 10885// Verdict: Accepted// Submission Date: 2026-07-12// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2026，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){intc=1105;intcSq=c*c;vector<pair<int,int>>pts;for(inta=1;a<c;++a){intrem=cSq-a*a;intb=(int)sqrt(rem);if(b*b==rem&&b>a)pts.emplace_back(b*b-a*a,2*a*b);}for(auto&p:pts)cout<<p.first<<" "<<p.second<<"\n";return0;}

总结

本题是典型的构造类题目，核心在于利用数论中的勾股数和整数距离集的已知结果。我们选择斜边110511051105作为生成参数，通过枚举所有整数解得到131313个点，这些点恰好满足所有要求。解题的关键在于：

• 理解整数距离集的构造原理，利用已知的数学结论减少盲目搜索。
• 选择合适参数ccc，使得勾股对数量达到131313。
• 坐标范围控制，确保输出合法。

本题不需要复杂的算法，但需要扎实的数论背景和构造思维。对于此类题目，熟悉经典构造（如勾股数、毕达哥拉斯三元组）往往能快速得到解答。