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方法五：矩阵求幂

斐波那契数列矩阵方程：

算法：

• 若 N 小于等于 1，则返回 N。
• 使用递归函数matrixPower 计算给定矩阵 A 的幂。幂为 N-1，其中 N 是第 N 个 斐波那契数。
• matrixPower 函数将对 N/2 个斐波那契数进行操作。
• 在 matrixPower 中，调用 multiply 函数将两个矩阵相乘。
• 完成计算后，返回 A[0][0] 得到第 N 个斐波那契数。

Java 实现

class Solution { int fib(int N) { if (N <= 1) { return N; } int[][] A = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}}; matrixPower(A, N-1); return A[0][0]; } void matrixPower(int[][] A, int N) { if (N <= 1) { return; } matrixPower(A, N/2); multiply(A, A); int[][] B = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}}; if (N%2 != 0) { multiply(A, B); } } void multiply(int[][] A, int[][] B) { int x = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B[1][0]; int y = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B[1][1]; int z = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B[1][0]; int w = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B[1][1]; A[0][0] = x; A[0][1] = y; A[1][0] = z; A[1][1] = w; } }

复杂度分析