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SymPy Control 模块完全指南：用纯 Python 符号化建模与求解 LTI 控制系统

【免费下载链接】sympyA computer algebra system written in pure Python项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/sy/sympy

SymPy 的sympy.physics.control是一个纯 Python 实现的符号化控制系统建模与分析模块，专注于线性时不变（LTI，Linear Time-Invariant）系统：既支持 Laplace 域（s 域）的连续时间模型，也支持 z 域的离散时间模型；既能处理单输入单输出（SISO）系统，也能处理多输入多输出（MIMO）系统。读完本文，你将掌握如何用TransferFunction、StateSpace、Series/Parallel/Feedback等核心类完成从建模仿真、稳定性分析到频域绘图（Bode、Nyquist、Nichols 等）的完整控制工程工作流，并获得精确的符号解而非数值近似。本文档以 doc/src/modules/physics/control/index.rst 及其子页面为骨架，结合 lti.py、control_plots.py、routh_table.py 源码展开。

模块定位：符号化的控制系统工具箱

根据 control.rst 的说明，该模块当前能够处理LTI 系统，并提供了两类互补的建模范式：

• 传递函数（Transfer Function）：系统输入到输出的频域表示。连续时间系统用TransferFunction在 Laplace 域（变量s）表示，离散时间系统用DiscreteTransferFunction在 z 域（变量z）表示。
• 状态空间（State Space）：StateSpace与DiscreteStateSpace分别建模连续与离散状态空间系统，支持可控性（controllability）、可观性（observability）分析，以及与传递函数表示之间的互相转换，同时完整支持 MIMO 状态空间系统。

模块的核心卖点是符号计算的精确性：与依赖数值迭代逼近的数值控制包不同，这里得到的解是高度精确的符号表达式，且形式紧凑、可直接用于后续分析。全部核心代码集中在 sympy/physics/control/lti.py（约 6800 行），绘图功能在 sympy/physics/control/control_plots.py，劳斯判据表在 sympy/physics/control/routh_table.py。

sympy.physics.control在包的__init__.py中统一导出了所有公共 API（见 sympy/physics/control/init.py），因此可直接通过如下方式导入：

from sympy.physics.control import ( TransferFunction, DiscreteTransferFunction, PIDController, Series, Parallel, Feedback, TransferFunctionMatrix, MIMOSeries, MIMOParallel, MIMOFeedback, StateSpace, DiscreteStateSpace, gbt, bilinear, forward_diff, backward_diff, phase_margin, gain_margin, RouthHurwitz, pole_zero_plot, bode_plot, step_response_plot, impulse_response_plot, ramp_response_plot, nyquist_plot, nichols_plot, )

传递函数模型：从有理多项式到频域对象

TransferFunction：连续时间传递函数

TransferFunction(num, den, var)用三个参数构造：num与den分别是分子与分母多项式（可以是多项式、常数甚至其他符号表达式），var是 Laplace 变换的复变量，必须是Symbol类型（源码在 lti.py 中强制校验）。分母为零会抛出ValueError：

>>> from sympy.abc import s, p, a >>> from sympy.physics.control import TransferFunction >>> tf1 = TransferFunction(s + a, s**2 + s + 1, s) >>> tf1.num a + s >>> tf1.den s**2 + s + 1 >>> tf1.var s

var不强制为s，任意Symbol都可作为变换变量，例如TransferFunction(a*p**3 - a*p**2 + s*p, p + a**2, p)。分子分母也可以是浮点数、整数等常量：TransferFunction(1/2, 4, s)。

DiscreteTransferFunction：离散时间传递函数

DiscreteTransferFunction(num, den, var, sampling_time=1)是 z 域对应物，第四个参数sampling_time表示两个相邻采样时刻的时间间隔，默认为 1，可传数值或符号（如k）。注意两点约束（源码见 lti.py）：

• sampling_time == 0会被拒绝——想建连续模型请用TransferFunction类；
• sampling_time是必要概念：离散模型的互连运算会通过_check_time_compatibility校验所有系统要么同为连续、要么同为离散且采样时间一致。

>>> from sympy.abc import z, a, k >>> from sympy.physics.control import DiscreteTransferFunction >>> dtf = DiscreteTransferFunction(z**2 + a*z, z**2 + z + 1, z, 0.1) >>> dtf.sampling_time 0.1

便捷工厂与构造辅助方法

create_transfer_function(num, den, var, sampling_time=0)是一个分派函数：sampling_time == 0返回TransferFunction，否则返回DiscreteTransferFunction（见 lti.py）。

TransferFunctionBase还提供了三个高效的类方法构造器（lti.py），非常实用：

# 1) 从有理表达式构造（自动识别变量，多变量冲突时需手动指定 var） tf1 = TransferFunction.from_rational_expression((s + 5)/(3*s**2 + 2*s + 1)) # 2) 从系数列表构造（系数按降幂排列，长度可不同） tf2 = TransferFunction.from_coeff_lists([1, 0, 2], [3, 2, 2, 1], s) # 3) 从零点、极点、增益构造（ZPK 形式，支持复数零极点） tf3 = TransferFunction.from_zpk([1, 2, 3], [6, 5, 4], 7, s)

离散版本同样提供这些类方法，并额外提供了四个从连续模型做离散化的类方法（from_gbt、from_bilinear、from_forward_diff、from_backward_diff），将在后文"连续到离散的转换"一节详解。

传递函数的核心分析与代数能力

从 lti.py 的TransferFunctionBase源码看，每个传递函数对象都内置了完整的分析与代数接口：

• 结构属性：num、den、var、is_proper（分子次数 ≤ 分母次数）、is_strictly_proper、is_biproper（次数相等）。
• 动态分析：
  • poles()/zeros()：求解极点与零点，对高阶多项式会退化为用rootof表示的精确根；
  • dc_gain()：频率趋于 0 时的增益，纯积分器系统返回oo；连续系统取limit(num/den, var, 0)，离散系统取limit(..., var, 1)；
  • eval_frequency(other)：在复平面任意点求系统响应，如tf.eval_frequency(I*omega)得到频响；
  • to_expr()：转换回普通 SymPyExpr，便于与其余符号计算无缝衔接；
  • expand()/to_standard_form(cancel_poles_zeros=False)：展开或规整为标准有理式；
  • is_stable(cancel_poles_zeros=False)：基于 Hurwitz/Schur 条件判断渐近稳定性（不覆盖临界稳定情形）。
• 代数运算符重载：+、-、*、/、**、一元-。其中加减乘会产生未求值的Parallel/Series对象，通过.doit()或.rewrite(TransferFunction)求值成单个传递函数；幂运算要求整数指数，负指数会翻转分子分母；tf1 / tf2会被解析为Series(tf1, tf2 的倒数)。例如：

>>> tf9 = TransferFunction(s + 1, s**2 + s + 1, s) >>> tf10 = TransferFunction(s - p, s + 3, s) >>> tf9 + tf10 # 未求值的并联 Parallel(...) >>> (tf9 + tf10).doit() # 求值为单个传递函数 TransferFunction(...)

系统互联：Series、Parallel 与 Feedback

这是模块的核心工程能力：把多个子系统按拓扑连接成整体。

串并联

• Series(*systems)表示串联（乘法性质），默认evaluate=False，可传evaluate=True直接求值；要求所有子系统使用同一个复变量，否则抛ValueError（校验逻辑见 lti.py 的_check_args）。
• Parallel(*systems)表示并联（加法性质），同样要求同变量。

两者都支持传入 SISO 状态空间对象（StateSpace），此时.doit()会返回等价的状态空间模型；也都有is_proper、is_strictly_proper、is_biproper属性（作用于求值后的结果）。

Feedback：闭环反馈

Feedback(sys1, sys2=None, sign=-1)表示两个 SISO 系统之间的闭环反馈互联（lti.py）：

• sys1：前向通路（被控对象 plant）；
• sys2：反馈通路（常为反馈控制器），缺省时自动取单位传递函数 1（单位反馈）；
• sign：反馈符号，-1为负反馈（默认），1为正反馈。

>>> from sympy.physics.control import Feedback, TransferFunction >>> plant = TransferFunction(3*s**2 + 7*s - 3, s**2 - 4*s + 2, s) >>> controller = TransferFunction(5*s - 10, s + 7, s) >>> F1 = Feedback(plant, controller) >>> F1.sys1 # 前向通路 >>> F1.sys2 # 反馈通路 >>> F1.doit() # 求值得到闭环传递函数 TransferFunction(...)

Feedback还提供：

• sign属性返回反馈符号，num/den属性给出闭环分子与分母结构；
• sensitivity属性返回闭环系统的灵敏度函数1/(1 - sign·sys1·sys2)（注意：不返回互补灵敏度函数）；
• doit(cancel=False, expand=False)两个关键字分别控制是否约分公共因子、是否展开结果；
• 当参数中含状态空间对象时，doit()返回等价StateSpace，rewrite(TransferFunction)可转回传递函数。

PID 控制器：一行构造工业标准控制器

PIDController(kp, ki, kd, tf, var)是TransferFunction的子类（lti.py），在 Laplace 域直接表示 PID 控制器的传递函数：

• kp、ki、kd：比例、积分、微分增益，缺省时分别自动取符号kp、ki、kd；
• tf：微分滤波器时间常数（用于滤除噪声），缺省为 0；
• var：复频率变量，缺省为s。

>>> from sympy import symbols >>> from sympy.physics.control import PIDController >>> kp, ki, kd = symbols('kp ki kd') >>> p1 = PIDController(kp, ki, kd) >>> p1.doit() # 转换为普通传递函数 TransferFunction(kd*s**2 + ki + kp*s, s, s) >>> p1.kp, p1.ki, p1.kd, p1.tf, p1.var

其传递函数结构为(kp·tf·s² + kp·s + ki·tf·s + ki + kd·s²) / (tf·s² + s)，当tf = 0时退化为经典 PID 形式(kd·s² + kp·s + ki)/s。doit()将其转化为普通TransferFunction，方便直接接入Series/Feedback进行闭环设计。

MIMO 系统：传递函数矩阵与互联

模块通过TransferFunctionMatrix及其配套互联类完整支持多输入多输出系统。

TransferFunctionMatrix

TransferFunctionMatrix(arg)是 MIMO 传递函数模型的基类（lti.py），arg是严格嵌套列表，元素为TransferFunction、SISOSeries或Parallel对象。行数 = 输出数（num_outputs），列数 = 输入数（num_inputs），shape返回(num_outputs, num_inputs)：

>>> from sympy import Matrix, pprint >>> from sympy.abc import s >>> from sympy.physics.control import TransferFunctionMatrix >>> M = Matrix([[s, 1/s], [1/(s+1), s]]) >>> tfm = TransferFunctionMatrix.from_Matrix(M, s) # 从普通矩阵一行代码转换 >>> pprint(tfm, use_unicode=False) [ s 1] [ - -] [ 1 s] [ ] [ 1 s] [----- -] [s + 1 1]{t}

常用操作包括：

• from_Matrix(matrix, var, sampling_time=0)：从普通 SymPy 矩阵高效构造（sampling_time非 0 时生成离散版本）；
• 索引切片：tfm[i, j]取单个传递函数，tfm[:, 0]、tfm[0, :]取整列/整行并返回新的矩阵；
• transpose()：转置以交换输入输出层；
• elem_poles()/elem_zeros()：逐元素求零极点（注意：文档明确提示 MIMO 系统真正的零极点不是单个元素零极点的简单汇总）；
• eval_frequency()：在每个元素上求频响，返回普通矩阵；
• subs()：支持单个与多个符号替换，且不修改原对象；
• .doit()：把矩阵内部的Series/Parallel元素化简为单个TransferFunction；
• 运算符：+/-/*产生MIMOParallel/MIMOSeries未求值对象，矩阵乘法要求维度匹配（前者输入数等于后者输出数）。

MIMO 互联类

• MIMOSeries(*systems, evaluate=False)：MIMO 串联。注意一个反直觉约定（源码 lti.py 明确说明）：MIMOSeries(A, B)等价于B*A，总是逆序；相邻系统必须满足"前一系统输出数 = 后一系统输入数"。
• MIMOParallel(*systems, evaluate=False)：MIMO 并联，要求所有成员shape相同。
• MIMOFeedback(sys1, sys2, sign=-1)：MIMO 闭环反馈，要求sys1与sys2的乘积为方阵且系统可逆（doit()基于灵敏度矩阵(I - sign·sys1·sys2)⁻¹·sys1求值，lti.py）。

三者均支持 MIMOStateSpace参数，doit()返回等价的状态空间实现。

状态空间模型：建模、分析与转换

StateSpace 与 DiscreteStateSpace

StateSpace(A, B, C, D)表示连续时间状态空间模型，满足：

x'(t) = A·x(t) + B·u(t) y(t) = C·x(t) + D·u(t)

DiscreteStateSpace(A, B, C, D, sampling_time=1)对应离散形式x[k+1] = A·x[k] + B·u[k]、y[k] = C·x[k] + D·u[k]（默认采样时间 1，同样拒绝 0）。四个矩阵均可省略——A缺省为1×1零矩阵，B/C/D自动补零到兼容维度（见 lti.py）。构造时源码会对矩阵维度做严格校验（A 必须方阵、A 行数等于 B 行数、C 行数等于 D 行数、A 列数等于 C 列数、B 列数等于 D 列数），输入非sympy矩阵会抛TypeError：

>>> from sympy import Matrix >>> from sympy.physics.control import StateSpace >>> A = Matrix([[1, 2], [1, 0]]) >>> B = Matrix([1, 1]) >>> C = Matrix([[0, 1]]) >>> D = Matrix([0]) >>> ss = StateSpace(A, B, C, D) # 只给 A、B 也可，其余自动补零 >>> ss.num_states # 2 >>> ss.shape # (1, 1)，即 (num_outputs, num_inputs)

状态空间分析能力

StateSpaceBase提供了完备的可控性/可观性分析工具箱（lti.py）：

• 矩阵访问：A/B/C/D（别名state_matrix、input_matrix、output_matrix、feedforward_matrix）、num_states、num_inputs、num_outputs、shape；
• 可控性：controllability_matrix()、controllable_subspace()、uncontrollable_subspace()、is_controllable()（可控矩阵秩 == 状态数）；
• 可观性：observability_matrix()、observable_subspace()、unobservable_subspace()、is_observable()；
• 标准形分解：to_controllable_form()、to_observable_form()（基于相似变换把 A/B、A/C 化为块三角形式分离可控/不可控、可观/不可观子系统）、apply_similarity_transform(T)；
• 稳定性条件：get_asymptotic_stability_conditions(fast=False)返回 A 矩阵特征多项式 Hurwitz（连续）/Schur（离散）不等式列表，配合reduce_inequalities可解出参数稳定域，例如：

>>> k = symbols('k') >>> A = Matrix([[0, 1, 0], [0, 0, 1], [k - 1, -2*k, -1]]) >>> ss = StateSpace(A, Matrix([1, 0, 0]), Matrix([[0, 1, 0]]), Matrix([0])) >>> reduce_inequalities(ss.get_asymptotic_stability_conditions()) (1/3 < k) & (k < 1)

• 连续系统求解：StateSpace.dsolve(initial_conditions=None, input_vector=None, var=Symbol('t'))基于 ODE 系统求解器linodesolve得到输出y(t)的闭式符号解。

与传递函数的互转

• 状态空间 → 传递函数：ss.rewrite(TransferFunction)通过公式G(s) = C·(sI − A)⁻¹·B + D计算（lti.py），离散版本对应G(z)。
• 传递函数 → 状态空间：tf.rewrite(StateSpace)返回可控标准形实现（_StateSpace_matrices_equivalent，要求系统 proper）。文档特别说明：该转换不唯一，同一个传递函数可有多个状态空间实现。

稳定性判据：Hurwitz/Schur 条件与劳斯-赫尔维茨表

模块提供三种互补的稳定性分析途径：

1. is_stable()/get_asymptotic_stability_conditions()（前文已述）：前者返回布尔判断，后者返回可参与符号不等式求解的条件列表。连续系统用Poly.den.hurwitz_conditions()（极点位于左半平面），离散系统用schur_conditions()（极点位于单位圆内）。fast=True时改用EXRAW域快速生成适合lambdify的大表达式。

2. RouthHurwitz类（routh_table.py）：继承自MutableDenseMatrix，由特征多项式直接构造劳斯表，并自动处理两种特殊情形：

   • 首列零情形（First Column Zero Case）：构造扩展劳斯表，相关信息记录在zero_col_infos属性（元组列表，含行号与连续零的个数信息）；
   • 整行零情形（Full Row Zero Case）：用辅助多项式（auxiliary polynomial）导数的系数替换该行，触发时zero_row_case置为True，辅助多项式本体可通过auxiliary_polynomials属性获取（其根关于原点对称，提示系统可能存在纯虚根或正负实部根）。

   稳定性判读规则：统计首列符号变化次数，每次变号对应一个正实部根：

>>> from sympy import symbols >>> from sympy.physics.control import RouthHurwitz >>> b1, b2, b3, b4 = symbols('b_1 b_2 b_3 b_4') >>> s = symbols("s") >>> p = b1*s**3 + b2*s**2 + b3*s + b4 >>> RouthHurwitz(p, s)[:, 0] # 首列即稳定性判读依据 Matrix([[b_1], [b_2], [(-b_1*b_4 + b_2*b_3)/b_2], [b_4]])

3. 增益裕度与相位裕度：phase_margin(system)与gain_margin(system)（lti.py）基于 Bode 图定义计算连续系统的稳定裕度。两者仅接受 SISO LTI 系统；含时延项（表达式中出现exp）抛NotImplementedError；存在除变换变量外的多余自由符号抛ValueError。

连续到离散的转换：广义双线性变换家族

模块实现了经典的控制系统离散化方法，核心是通用的gbt（generalised bilinear transformation），通过代入s(z) = (z − 1)/(T·(α·z + 1 − α))把连续传递函数H(s)离散化为H(z)，其中T为采样周期、α为方法参数（lti.py）。三种特例（源码直接以不同 α 调用gbt）：

这些函数返回"降幂"系数列表[a, b], [c, d]（对应H(z) = (az+b)/(cz+d)）。更推荐直接使用DiscreteTransferFunction的类方法，一步得到离散传递函数对象：

>>> from sympy.abc import s, z, L, R, T >>> from sympy.physics.control import TransferFunction, DiscreteTransferFunction >>> tf = TransferFunction(1, s*L + R, s) # RL 一阶电路 >>> dttf = DiscreteTransferFunction.from_bilinear(tf, T, z) >>> dttf.num # T*z/(2*(L + R*T/2)) + T/(2*(L + R*T/2)) >>> dttf.sampling_time # T

类似地还有from_gbt(cont_tf, T, alpha, z)、from_forward_diff、from_backward_diff。

控制系统绘图：Bode、零极点、时域响应与 Nyquist/Nichols

sympy/physics/control/control_plots.py 提供了控制工程中常用的全套绘图函数。依赖说明（文档 control_plots.rst 明确）：

• 画图需要外部依赖Matplotlib（源码通过import_module('matplotlib', ...)惰性导入）；
• 只取数值数据（*_numerical_data系列函数）需要NumPy。

每个绘图函数都有对应的*_numerical_data版本，便于用户用其他后端自行绘图或进一步分析。所有函数仅支持SISO LTI 系统（_check_system统一校验：非 SISO 抛NotImplementedError，含时延项不支持，存在多余自由符号抛ValueError，见 control_plots.py）。

零极点图（Pole-Zero Plot）

pole_zero_plot(system, pole_color='blue', pole_markersize=10, zero_color='orange', zero_markersize=7, grid=True, show_axes=False, show=True)：在复平面用x标记极点、圆形标记零点。对应的pole_zero_numerical_data返回(zeros, poles)数值列表。

时域响应

• step_response_plot(system, ...)：单位阶跃响应，底层通过部分分式分解 +_fast_inverse_laplace求得符号解析解再求值（control_plots.py）；
• impulse_response_plot(system, ...)：单位冲激响应；
• ramp_response_plot(system, slope=1, ...)：斜坡响应，slope默认 1 且不能为负。

三者共用参数：prec=8（坐标精度）、lower_limit=0、upper_limit=10（时间范围）、color='b'、grid=True、show_axes=False、show=True（show=False时返回 matplotlib 对象）。*_numerical_data默认自适应采样，传adaptive=False与n可获得均匀采样。

频域绘图

• bode_plot(system, initial_exp=-5, final_exp=5, ...)：一次性绘制幅频与相频两张子图。频率轴为 10 的指数范围（默认10⁻⁵ ~ 10⁵），freq_unit可选'rad/sec'（默认）或'Hz'，phase_unit可选'rad'（默认）或'deg'，phase_unwrap=True时自动做相位解缠绕。也可分别调用bode_magnitude_plot与bode_phase_plot；
• nyquist_plot(system, initial_omega=0.01, final_omega=100, ...)：奈奎斯特图（同时绘制频率响应曲线及其镜像，基于plot_parametric）；
• nichols_plot(system, initial_omega=0.01, final_omega=100, ...)：尼科尔斯图（相位-增益图，横轴为相位 [deg]，纵轴为幅值 [dB]）。

结语与源码导航

sympy.physics.control为控制工程师和教学场景提供了一条从"写出传递函数/状态空间"到"得到精确符号结论"的完整链路，其符号解不依赖数值近似，可直接用于参数设计（如求解稳定域不等式）与后续数学推导。若需深入了解实现细节，建议按如下路径阅读仓库源码：

• 模型与互联核心：sympy/physics/control/lti.py（传递函数、PID、Series/Parallel/Feedback、MIMO 类、状态空间、离散化、稳定裕度）；
• 绘图函数：sympy/physics/control/control_plots.py；
• 劳斯表：sympy/physics/control/routh_table.py；
• 公共导出入口：sympy/physics/control/init.py；
• 官方文档目录：doc/src/modules/physics/control/index.rst（子页面含 control.rst、lti.rst、control_plots.rst、routh_table.rst）；
• 测试用例：sympy/physics/control/tests/test_lti.py、test_control_plots.py、test_routh_table.py，可作为 API 用法的权威示例。

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