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1 LTI连续系统的响应

1.1 全响应（齐次解+特解 / 自由+强迫响应 / 瞬态+稳态响应）

LTI系统的数学模型——常系数线性微分方程的全解由齐次解（表1）和特解（表2）组成，齐次解形式与激励无关（齐次解的系数与激励有关），称为系统的自由响应或固有响应；特解形式由激励信号决定，称为强迫响应。

当输入为阶跃信号或周期信号时，LTI系统的全响应也可分为瞬态（暂态）响应和稳态响应。

特征根	齐次解形式
单实根
多个不同实根、......
共轭复根
表1

激励形式（输入）	特解形式
或
表2

1.2 0- 和 0+ / 零输入响应 / 零状态响应

1.2.1 和 "0" 相关量

：初始状态

：初始条件

：跳变量

1.2.2 零输入 / 零状态响应

零输入响应：微分方程等式右边为 0 ；求解也是如此。

零状态响应：初始状态为 0 ；求解时用平衡法求跳变量作为初始条件，再求齐次解和特解，最后由初始条件解出齐次解系数。

1.2.3 全响应

全响应 = 零输入响应 + 零状态响应，需要分别求解等号右边的两个量。

2 冲激响应和阶跃响应

2.1 冲激响应

初始状态为零，输入为单位冲激函数求解：

将微分方程中的 y 换为 h，f 换为，求齐次解，用平衡法求初始条件，对照 m 和 n ，代入条件求出冲激响应 h(t)。

2.2 阶跃响应

初始状态为零，输入为单位阶跃函数求解：

方法1：将微分方程中的 y 换为 h，f 换为，求齐次解，用平衡法求初始条件，对照 m 和 n ，代入条件求出冲激响应 h(t)。

方法2：冲激响应和阶跃响应的关系（如下2.3）

2.3 冲激响应和阶跃响应的关系

冲激响应是阶跃响应求微分：

阶跃响应是冲激响应求积分：

3 零状态响应与卷积积分

3.1 任意激励下的零状态响应

把一任意激励分解为许多宽度为的窄脉冲，定义强度为 1 ，宽度很窄的脉冲为，则第 k 个脉冲出现在时刻，高度，则：

（k 为整数）

则时，，矩形脉冲极限为冲激函数：

所以任意激励下的零状态响应即为：

该运算称为卷积积分（卷积），LTI 系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积积分，记为：

3.2 卷积积分

4 卷积积分的性质

4.1 代数运算

交换律、分配律、结合律（需满足两两卷积都存在）

4.2 函数与冲激函数的卷积

某函数与冲激函数卷积就是它本身：

与阶跃函数卷积，转化为：

延时函数之间卷积，总延时匹配：

4.3 卷积的微分与积分

一般函数，i = m = k：

杜阿密尔积分，表示LTI 系统的零状态响应等于激励的导数与系统的阶跃响应的卷积积分：

系统框图（复合系统）计算方法：

如图，求冲激响应和零状态响应可列：

5 习题（例题）

5.1 常规方法方法求一般微分方程对应的零输入响应

5.2 求零输入、零状态、全响应

5.3 使用性质方法求卷积积分

5.4 使用定义方法求卷积积分

5.5 求冲激响应➡️求零状态响应

5.6 综合题