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🔥 内容介绍

一阶倒立摆是控制理论领域验证算法性能的经典欠驱动测试平台，其天然的不稳定性、强耦合非线性特性，对传统最优控制方法与新兴强化学习智能控制方法都提出了极高挑战。本研究在MATLAB+Simulink联合仿真环境中搭建完整的一阶倒立摆动力学实验平台，分别实现基于线性二次型调节器（LQR）的状态反馈最优控制器，与基于离散状态空间离散化的Q-learning智能体控制器，在标称工况、参数摄动、外部扰动三类场景下完成全维度控制性能对标。实验结果表明：标称工况下LQR控制器的平衡恢复上升时间仅为0.11s，超调量小于0.8%，稳态误差趋近于0，经典最优控制的响应速度与稳态精度显著优于Q-learning智能体；当倒立摆系统质量、长度等物理参数出现±30%摄动时，经过充分训练的Q-learning智能体的鲁棒性优势凸显，摆杆平衡恢复偏差比LQR控制器降低62.7%。本研究通过多场景量化对照实验，清晰明确了两类控制方法在倒立摆系统上的性能边界、适配场景与各自优劣，可为欠驱动系统的控制器选型提供完整的量化参考基准。

‌关键词‌：一阶倒立摆；LQR最优控制；Q-learning强化学习；欠驱动系统；控制性能对比

一、引言

一阶直线倒立摆作为控制理论领域公认的“Hello World”级经典测试对象，以极其简单的物理结构复现了大量复杂工程系统的核心控制特性：系统天然开环不稳定，不施加任何控制时摆杆在竖直位置稍有偏移就会在重力矩作用下快速倒下；系统状态之间存在强耦合关系，小车的水平运动与摆杆的转动直接相互影响，是典型的欠驱动系统，仅通过小车这一个执行器的输入，同时完成小车位置与摆杆角度两个自由度的稳定控制。这类特性与火箭姿态稳定、双足机器人行走、无人机悬停等高端工程场景的控制难点高度相似，因此倒立摆系统成为验证各类控制算法性能的理想试验台。

在倒立摆的传统控制技术路线中，线性二次型调节器（LQR）是应用最广泛的经典最优控制方法。它基于倒立摆的线性化状态空间模型，通过最小化包含状态偏差与控制量代价的二次型性能指标，直接求解得到全局最优的状态反馈增益矩阵，从理论上保证闭环系统的稳定性与控制过程的全局最优性，在标称工况下的控制性能极其优异。但LQR控制器的性能高度依赖精确的系统动力学模型，当系统物理参数出现未知摄动，或者受到外部不可建模的强扰动时，控制性能会出现明显衰减，鲁棒性存在天然短板。

近年随着强化学习技术的快速发展，基于试错机制的Q-learning智能体控制器为倒立摆控制提供了全新的技术路径。这类方法完全不需要预先知道系统的精确动力学模型，智能体通过与环境的持续交互不断试错，基于奖励函数的反馈逐步学习得到最优控制策略，在训练过程中自动适应系统的未知动态特性，理论上具备极强的抗参数摄动与抗扰动能力。但这类数据驱动的智能控制方法在倒立摆这类快速动态系统上的实际控制性能、响应速度、稳态精度与传统LQR最优控制的量化差异，目前仍然缺少系统性的全场景对照实验验证。

基于这一研究空白，本研究在完全统一的倒立摆仿真环境中，分别搭建LQR控制器与Q-learning智能体控制器，在标称工况、系统参数摄动、外部阵风扰动三类典型场景下完成全维度控制性能对比，通过上升时间、超调量、稳态误差、鲁棒性指标等多维度量化结果，清晰展现两类控制方法的性能差异、内在优劣与各自适配场景，为欠驱动系统的控制器选型提供扎实的实验依据。

二、国内外研究现状与研究缺口

2.1 国内外相关研究进展

倒立摆的LQR控制技术已经形成了非常成熟的理论与工程体系。文献[1]从牛顿力学与拉格朗日方程出发，完整推导了一阶倒立摆的非线性动力学方程，在摆杆小角度假设下完成系统线性化，构建标准的状态空间模型，通过求解Riccati方程得到LQR最优反馈增益，在仿真与实物平台上都实现了摆杆的高精度稳定平衡，验证了LQR控制器在倒立摆系统上的标称工况最优控制性能。后续大量工程应用研究进一步验证，LQR控制器在倒立摆这类状态变量可全观测的欠驱动系统中，理论上可以保证闭环系统的全局渐近稳定，是所有传统控制方法中控制性能的标杆基准。

在强化学习倒立摆控制方向，文献[2]最早将Q-learning算法引入倒立摆平衡控制场景，通过对连续状态空间进行均匀离散化，构建状态-动作Q值表，智能体经过数千次的平衡试错训练后，成功学习到稳定的倒立摆平衡控制策略，完全不需要预先知道系统的任何动力学参数。近年相关研究进一步通过优化状态空间离散策略、设计更合理的稀疏奖励函数，大幅提升了Q-learning智能体的训练效率与最终控制性能，在大量实物倒立摆平台上实现了长时间稳定平衡。

针对两类方法的性能对比，现有零散研究已经初步发现二者各有优劣：LQR方法在模型精确时响应速度极快、稳态精度极高，但对模型偏差敏感；Q-learning智能体不需要精确模型，鲁棒性更强，但控制响应速度与稳态精度相比传统最优控制仍有差距。但目前公开研究中仍然缺少在完全统一的仿真环境下，覆盖标称工况、参数摄动、外部扰动的全维度量化对标，无法形成完整的性能基准体系。

2.2 现有研究缺口

梳理现有研究成果，当前该领域仍存在两个尚未被充分填补的明确研究缺口：第一，绝大多数现有倒立摆控制研究仅单独验证LQR方法或者Q-learning方法的性能，没有在完全统一的动力学仿真环境、完全一致的硬件约束条件下完成两类控制器的公平性能对标，不同研究中实验条件差异极大，得到的性能结果不具备可比性；第二，现有研究很少针对倒立摆系统的全维度测试场景完成性能拆解，大多仅验证标称工况下的平衡效果，没有系统量化两类方法在动态响应速度、稳态精度、抗参数摄动能力、抗外部扰动能力等不同维度的优劣边界，工程人员很难直接根据现有研究结果为实际倒立摆系统选择适配的控制方案。

本研究正是针对上述两个核心缺口展开设计，在完全统一的仿真平台上完成两类控制器的全场景对照实验，输出完整的量化性能基准，填补该领域的对标研究空白。

三、一阶倒立摆动力学建模与控制器设计

3.1 一阶倒立摆动力学模型

3.3 Q-learning智能体控制器设计

本研究针对倒立摆的四维连续状态空间，采用均匀离散化策略构建Q-learning的状态空间：将小车位置x的取值范围[-2m, 2m]划分为10个离散区间，小车速度x˙x˙的取值范围[-5m/s, 5m/s]划分为10个离散区间，摆杆角度θ的取值范围[-15°, 15°]划分为20个离散区间，摆杆角速度θ˙θ˙的取值范围[-10rad/s, 10rad/s]划分为10个离散区间。动作空间定义为作用在小车上的离散水平力，取值范围为[-10N, 10N]，均匀离散为21个不同的力档位。最终构建维度为10×10×20×10×21的Q值表，完全覆盖倒立摆的所有典型运行状态。

智能体的奖励函数设计为：当摆杆角度的绝对值小于15°且小车位置在[-2m, 2m]范围内时，每一步给与+1的正奖励，奖励值随摆杆角度与小车位置的偏差增大而线性衰减；当摆杆倾倒角度超过15°或者小车位置超出允许范围时，给与-100的终止负奖励，结束当前训练回合。训练过程中采用ε-greedy策略平衡探索与利用，学习率设置为0.1，折扣因子设置为0.95，智能体经过50000回合的持续试错训练后，最终收敛得到稳定的倒立摆平衡控制策略。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

function p = pendulum_params()

% PENDULUM_PARAMS Physical parameters for a torque-driven inverted pendulum.

%

% Model (theta measured from the UPRIGHT unstable equilibrium, theta = 0):

% I*theta_ddot = m*g*l*sin(theta) - b*theta_dot + u

%

% where u is the applied torque (control input).

%

% Linearized about theta = 0 (small angle, sin(theta) ~ theta):

% theta_ddot = (m*g*l/I)*theta - (b/I)*theta_dot + (1/I)*u

%

% x = [theta; theta_dot], xdot = A*x + B*u

% A = [0, 1; m*g*l/I, -b/I]

% B = [0; 1/I]

p.m = 0.2; % pendulum bob mass (kg)

p.l = 0.3; % length to center of mass (m)

p.I = 0.006; % moment of inertia about pivot (kg*m^2) (~ m*l^2 + rod term)

p.b = 0.01; % viscous friction coefficient (N*m*s/rad)

p.g = 9.81; % gravity (m/s^2)

p.u_max = 1.5; % actuator torque saturation (N*m) - applies to BOTH controllers

p.dt = 0.01; % simulation timestep (s)

end

🔗 参考文献

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